Chủ đề này có 2 trả lời

[DaoTriBach]

Tìm các số nguyên dương x,y thoả mãn: $x^{3}-y^{3}=13(x^{2}+y^{2})$

[dinhvu]

Đặt $d=(a,b)$ với $d\in \mathbb{N}, d \geq 1$ thì ta có $x=da, y=db$ với $a,b \in \mathbb{N}; (a,b)=1.$
Nhận xét $x>y$ nên $a>b$
Vậy giả thiết suy ra $d(a-b)(a^2+ab+b^2)=13(a^2+b^2)$
Dễ chứng minh $(a^2+b^2,a^2+ab+b^2)=1$ nên 13 chia hết cho $a^2+ab+b^2$
Đến đây dễ rồi
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dinhvu: 12-01-2024 - 00:14

[Baoriven]

Các bài dạng này có thể xử lý bằng tổng $S$ tích $P$ để thêm được một điều kiện $S^2\geq 4P$.

 

Đặt $(x,-y)=(a,b)$. Khi đó, $S=a+b,P=ab<0$.

Từ PT ban đầu, ta được:

$$a^3+b^3=13(a^2+b^2) \Rightarrow P=\dfrac{S^3-13S^2}{3S-26}.$$

 

Giải hai BPT $P<0$ và $S^2\geq 4P$, ta được $(S,P)=\{(9,-324), (10,-75)\}$. 

 

Thử lại, ta được $(x,y)=(15,5)$.