Chủ đề này có 1 trả lời

[DaoTriBach]

Tìm tất cả các nghiệm (x;y;z) của phương trình $x(x^{2}+x+1)=z^{y}-1$ thoả mãn x,y là các số tự nhiên và z là số nguyên tố

[Duc3290]

Tìm tất cả các nghiệm (x;y;z) của phương trình $x(x^{2}+x+1)=z^{y}-1$ thoả mãn x,y là các số tự nhiên và z là số nguyên tố

gt $\leftrightarrow z^y=(x^2+1)(x+1)$, vì $z$ là số nguyên tố nên tồn tại $s,t \in N, s\geq t, s+t=y$ sao cho $x^2+1=z^s,x+1=z^t\\$

Từ đó thu được $x^2+1\vdots x+1$ hay $2\vdots x+1$ và $2 \vdots z^t\\$. Ta xét các khả năng

TH1: $t=0$, từ đó suy ra $x=s=0$ hay $x=y=0$. Thử lại bộ này thỏa mãn với mọi $z$ nguyên tố$\\$

TH2: $t\geq 1$, từ đó suy ra $2 \vdots z \rightarrow z=2\\$

Xét đẳng thức $x^2+1=2^s$, nếu $s\geq 2$ thì $x^2+1 \vdots 4$, vô lý$\\$

Nếu $s=0$ thì $t=0$, đưa về TH1$\\$

Nếu $s=1$ ta thu được $x=1$, thay vào gt ta tìm được $y=2$

Vậy tất cả các nghiệm của pt là $\left ( x,y,z \right )\in \left \{ (0,0,p);(1,2,2) \right \}$ với $p$ là số nguyên tố tùy ý