Với $r\geq 0$, ta đặt $a_{r}$ là số cách chia $r$ viên kẹo giống nhau cho 5 đứa trẻ sao cho mỗi đứa đều có ít nhất 2 viên, đứa lớn nhất có không quá 10 viên và đứa nhỏ nhất có không quá 12 viên. Hãy viết hàm sinh $G(x)$ cho dãy $\left \{ a_{r} \right \}_{r\geq 0}$ và tính giá trị $a_{28}$
(Ở đây mình không hiểu chỗ đứa lớn nhất và đứa nhỏ nhất cho lắm, hay đứa lớn nhất là đứa số 5 còn nhỏ nhất là số 1)
(Tìm hàm sinh)Số cách chia $r$ viên kẹo giống nhau cho 5 đứa trẻ...
Bắt đầu bởi NamUS, 16-01-2024 - 22:03
#1
Đã gửi 16-01-2024 - 22:03
#2
Đã gửi 17-01-2024 - 00:38
Bạn không phải lăn tăn đứa lớn nhất, đứa bé nhất là số mấy, mà chỉ cần lập hàm sinh đúng cách cho số cách chia kẹo cho 2 cu này như sau :Với $r\geq 0$, ta đặt $a_{r}$ là số cách chia $r$ viên kẹo giống nhau cho 5 đứa trẻ sao cho mỗi đứa đều có ít nhất 2 viên, đứa lớn nhất có không quá 10 viên và đứa nhỏ nhất có không quá 12 viên. Hãy viết hàm sinh $G(x)$ cho dãy $\left \{ a_{r} \right \}_{r\geq 0}$ và tính giá trị $a_{28}$
(Ở đây mình không hiểu chỗ đứa lớn nhất và đứa nhỏ nhất cho lắm, hay đứa lớn nhất là đứa số 5 còn nhỏ nhất là số 1)
Ta có hàm sinh số cách chia kẹo cho đứa bé nhất :
$$x^2+x^3+...+x^{12}=x^2\frac{\left (1-x^{11} \right )}{1-x}$$
Hàm sinh số cách chia kẹo cho đứa lớn nhất :
$$x^2+x^3+...+x^{10}=x^2\frac{\left (1-x^{9} \right )}{1-x}$$
Và hàm sinh số cách chia kẹo cho mỗi 3 bé còn lại:
$$x^2+x^3+...= \frac{x^2}{1-x}$$
Vậy hàm sinh cần tìm là :
$$\boldsymbol {G(x)=\frac{x^{10}\left (1-x^{11} \right )\left (1-x^{9}\right)}{ \left ( 1-x \right )^5}}$$
Tính $a_{28} $:
$$\begin {align*}
a_{28}&=\left [ x^{28} \right ]G(x)=\left [ x^{18} \right ]\frac{\left (1-x^{11} \right )\left (1-x^{9}\right)}{ \left ( 1-x \right )^5}\\
&=\left [ x^{18} \right ] \left (1-x^9-x^{11} \right )\sum_{k=0}^{\infty }\binom{-5}{k}(-x)^k\\
&=\left (\left [ x^{18} \right ]- \left [ x^{9} \right ]- \left [ x^{7} \right ] \right )\sum_{k=0}^{\infty }\binom{k+4}{4}x^k\\
&=\binom{22}{4}-\binom{13}{4}-\binom{11}{4}\\
&=\boldsymbol {6270}
\end {align*}$$
- NamUS yêu thích
===========
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh