1 reply to this topic

[NamUS]

Với $r\geq 0$, ta đặt $a_{r}$ là số cách chia $r$ viên kẹo giống nhau cho 5 đứa trẻ sao cho mỗi đứa đều có ít nhất 2 viên, đứa lớn nhất có không quá 10 viên và đứa nhỏ nhất có không quá 12 viên. Hãy viết hàm sinh $G(x)$ cho dãy $\left \{ a_{r} \right \}_{r\geq 0}$ và tính giá trị $a_{28}$
(Ở đây mình không hiểu chỗ đứa lớn nhất và đứa nhỏ nhất cho lắm, hay đứa lớn nhất là đứa số 5 còn nhỏ nhất là số 1)

[Nobodyv3]

Với $r\geq 0$, ta đặt $a_{r}$ là số cách chia $r$ viên kẹo giống nhau cho 5 đứa trẻ sao cho mỗi đứa đều có ít nhất 2 viên, đứa lớn nhất có không quá 10 viên và đứa nhỏ nhất có không quá 12 viên. Hãy viết hàm sinh $G(x)$ cho dãy $\left \{ a_{r} \right \}_{r\geq 0}$ và tính giá trị $a_{28}$
(Ở đây mình không hiểu chỗ đứa lớn nhất và đứa nhỏ nhất cho lắm, hay đứa lớn nhất là đứa số 5 còn nhỏ nhất là số 1)

Bạn không phải lăn tăn đứa lớn nhất, đứa bé nhất là số mấy, mà chỉ cần lập hàm sinh đúng cách cho số cách chia kẹo cho 2 cu này như sau :
Ta có hàm sinh số cách chia kẹo cho đứa bé nhất :
$$x^2+x^3+...+x^{12}=x^2\frac{\left (1-x^{11}  \right )}{1-x}$$
Hàm sinh số cách chia kẹo cho đứa lớn nhất :
$$x^2+x^3+...+x^{10}=x^2\frac{\left (1-x^{9}  \right )}{1-x}$$
Và hàm sinh số cách chia kẹo cho mỗi 3 bé còn lại:
$$x^2+x^3+...= \frac{x^2}{1-x}$$
Vậy hàm sinh cần tìm là :
$$\boldsymbol {G(x)=\frac{x^{10}\left (1-x^{11} \right )\left (1-x^{9}\right)}{ \left ( 1-x \right )^5}}$$
Tính $a_{28} $:
$$\begin {align*}
a_{28}&=\left [ x^{28} \right ]G(x)=\left [ x^{18} \right ]\frac{\left (1-x^{11}  \right )\left (1-x^{9}\right)}{ \left ( 1-x \right )^5}\\
&=\left [ x^{18} \right ] \left (1-x^9-x^{11} \right )\sum_{k=0}^{\infty }\binom{-5}{k}(-x)^k\\
&=\left (\left [ x^{18} \right ]- \left [ x^{9} \right ]- \left [ x^{7} \right ] \right )\sum_{k=0}^{\infty }\binom{k+4}{4}x^k\\
&=\binom{22}{4}-\binom{13}{4}-\binom{11}{4}\\
&=\boldsymbol {6270}
\end {align*}$$