Chủ đề này có 1 trả lời

[Benben]

a,b,c không âm thoả mãn a+b+c=2. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức $P=\sqrt{a+b^2c^2}+\sqrt{b+c^2a^2}+\sqrt{c+a^2b^2}$

[nguyenhuybao06]

Min. Ta có $$P=\sum\sqrt{a+b^2c^2}\geq\sum\sqrt{a}\geq\sqrt{\sum a}=\sqrt{2}.$$

Max. Ta có $$P=\sum\sqrt{a+b^2c^2}\leq\frac{1}{2}(3+\sum a+\sum a^2b^2)=\frac{1}{2}(5+\sum a^2b^2).$$

Ta chứng minh $$\sum a^2b^2\leq 1.$$

Giả sử $a=max\left\lbrace a,b,c\right\rbrace $, đặt $\sum a^2b^2=f(a,b,c). $ Ta chứng minh $$f(a,b,c)\leq f(a,b+c,0)\leq1.$$

Xét hiệu ta có $$f(a,b+c,0)-f(a,b,c)=a^2(b+c)^2-\sum a^2b^2=a^2b^2+2a^2bc+a^2c^2-\sum a^2b^2=bc(2a^2-bc)\geq bc(bc-bc)=0.$$

Lại có $$f(a,b+c,0)=a^2(b+c)^2\leq\frac{(a+b+c)^4}{16}=\frac{16}{16}=1.$$

Suy ra $$f(a,b,c)\leq f(a,b+c,0)\leq1.$$

Vậy...