Chủ đề này có 1 trả lời

[ninhbinhk8]

Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho $n \mid (n-1)!$

[habcy12345]

Rõ ràng $n$ không thể là số nguyên tố (dùng định lí Wilson).
Thử $n=1$ thấy thỏa. Xét $n$ là hợp số:
TH1: $n$ là bình phương của một số nguyên tố:
Thử với $n=4$ thì không thỏa, xét $n>4$, đặt $n=k^2$ $(k\in\mathbb{N}, k>2)$.
Khi này $(n-1)!=1.2...k...(k^2-1)$. Vậy ta cần chỉ ra rằng trong các số từ $k+1$ đến $k^2-1$ có một số là bội $k$ là đủ, ta nhận ra ngay số đó là $2k$, bởi nó là bội của $k$, đồng thời $2k>k+1$ và $2k<k^2-1$.
TH2: $n$ không là bình phương của một số nguyên tố:
Khi này ta có thể đặt $n=ab$ $(a,b\in\mathbb{N}, 2\leq a<b)$.
Suy ra $(n-1)!=(ab-1)!=1.2...a...b...(ab-1)\vdots ab=n$.
Vậy $n=1$ hoặc $n$ là bất kì hợp số nào lớn hơn $4$ là giá trị cần tìm.