#1
Đã gửi 15-02-2024 - 21:57
\begin{equation} \label{e1} \sum_{k\ge 1}\left\lfloor\dfrac{n}{2k-1}\right\rfloor =\sum_{k\ge 1}\left\lfloor\dfrac{n+k}{2k}\right\rfloor \end{equation}
Ý nghĩa: VT\eqref{e1} là tổng của: số các số chia hết cho $1,3,5,…$ không quá $n$
- perfectstrong, Hoang72 và Saturina thích
#2
Đã gửi 16-02-2024 - 12:26
Chứng minh với mỗi số nguyên dương $n$ ta có đẳng thức sau:
\[\sum_{k\ge 1}\left\lfloor\dfrac{n}{2k-1}\right\rfloor =\sum_{k\ge 1}\left\lfloor\dfrac{n+k}{2k}\right\rfloor \]
Ý nghĩa: VT\eqref{e1} là tổng của: số các số chia hết cho $1,3,5,…$ không quá $n$
Chắc đây chỉ là bài toán khởi đầu thôi , vì hết sức đơn giản chỉ cần sử dụng đẳng thức Hermite
\[\left \lfloor \frac{n+k}{2k} \right \rfloor=\left \lfloor \frac{n}{k} \right \rfloor-\left \lfloor \frac{n}{2k} \right \rfloor\]
cho vế phải.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 16-02-2024 - 12:31
- perfectstrong và hxthanh thích
Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh
#3
Đã gửi 16-02-2024 - 19:46
Đúng là theo Hermite thì ta có … điều hiển nhiên, và bài toán đến đây là hết. Chẳng còn gì để nói!Chắc đây chỉ là bài toán khởi đầu thôi , vì hết sức đơn giản chỉ cần sử dụng đẳng thức Hermite
\[\left \lfloor \frac{n+k}{2k} \right \rfloor=\left \lfloor \frac{n}{k} \right \rfloor-\left \lfloor \frac{n}{2k} \right \rfloor\]
cho vế phải.
Dẫu sao về mặt thuật toán thì VP\eqref{e1} được tính nhanh hơn một chút vì
$\sum_{k\ge 1}\left\lfloor\dfrac{n+k}{2k}\right\rfloor =n+ \sum_{k\ge 1}\left\lfloor\dfrac{n-k}{2k}\right\rfloor$
Tổng này sẽ kết thúc sau $\left\lfloor \dfrac n3\right\rfloor$ số hạng, ít hơn so với VT\eqref{e1} gồm $\left\lfloor \dfrac n2\right\rfloor$ số hạng.
- perfectstrong và nhungvienkimcuong thích
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh