1 reply to this topic

[Saturina]

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), đường kính AD.

Trên tia đối của tia DA lấy điểm E và qua E vẽ đường thẳng vuông góc với AD cắt đường thẳng BC tại P. Từ P vẽ hai tiếp tuyến PM,PN đến (O) (M,N là các tiếp điểm và A,N nằm cùng phía so với đường thẳng BC). Đường thẳng AM cắt PE tại F. Gọi G là trung điểm của AF, đường thẳng GP cắt đường thẳng AC tại H. Gọi Q là điểm đối xứng với N qua O , từ Q vẽ đường thẳng vuông góc với ON và cắt đường thẳng MN tại S. Chứng minh rằng:

a) PS^2 = PM^2 + SM.SN

b) Đường thẳng HF song song với đường thẳng AB.

[dat09]

 

a. Chứng minh rằng $PS^2=PM^2+SM.SN$

Ta có $NQ$ là đường kính của $(O)$, $QS\perp ON$ nên $QS$ tiếp xúc với $(O)$. Do đó $SM.SN=SQ^2$.

Ta thấy tứ giác $PNQS$ là hình thang vuông tại $N$ và $Q$ nên ta có hệ thức:

$PS^2=NQ^2+(PN-SQ)^2=NQ^2+PN^2+SQ^2-2PN.SQ$

Vì $PN=PM$ và $2PN.SQ=2ON.NQ=NQ^2$ nên $PS^2=PM^2+SQ^2=PM^2+SM.SN$.

b. Chứng minh rằng $HF||AB$

Gọi $FB\cap AN=\left\{I\right\}$.

Ta có $\angle FIN=90^0-\angle DAN=\angle ADN=\angle AMN$, suy ra tứ giác $MNIF$ nội tiếp đường tròn.

Lại có $\angle PNI=90^0-\angle ANO=90^0-\angle NAO=\angle PIN$ nên $P$ nằm trên trung trực đoạn $IN$ và $MN$.

Do đó $P$ là tâm ngoại tiếp tứ giác $MNIF$ hay $PI=PF$. Mà $P\in IF$ nên $P$ là trung điểm của đoạn $IF$.

Suy ra $PG$ là đường trung bình song song với $AI$ của $\Delta AIF$.

Gọi $PG\cap AB=\left\{K\right\}$

Dễ thấy tứ giác $BMCN$ là một tứ giác điều hòa. Do vậy $-1=A(BC,MN)=A(KH,GN)=(KH,G\infty)$ vì $KH||AN$.

Suy ra $G$ là trung điểm của $KH$. Mà $G$ cũng là trung điểm của $AF$ nên $HF||AK$.