Chủ đề này có 4 trả lời

[KhanhNguyen2106]

Cho dãy số $(u_n)$  được xác định bởi:

$u_1 = 1;   u_2 = 3$ và $u_{n+2} = (n+3)u_{n+1} - (n+2)u_n \, \forall n \in \mathbb{N}^*$

Tìm công thức tổng quát của dãy số $(u_n)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 22-02-2024 - 22:32
Tiêu đề & LaTeX

[nguyenhuybao06]

Em tính ra $u_n=2\frac{n^{n-1}-1}{n-1}+1$ có đúng không ạ? 

[nguyenhuybao06]

Em tính ra $u_n=2\frac{n^{n-1}-1}{n-1}+1$ có đúng không ạ? 

Ta có $u_n=(n+1)u_{n-1}-nu_{n-2}\Leftrightarrow u_n-u_{n-1}=n(u_{n-1}-u_{n-2}). $

Nếu đặt $u_n-u_{n-1}=v_{n-1}$ thì ta được $v_n=nv_{n-1} .$

Khi đó $(v_n)$ là cấp số nhân có $v_1=u_2-u_1=2$ và $q=n.$

Suy ra $v_n=2n^{n-1}.$

Ta có $u_n-u_{n-1}=v_{n-1}=2n^{n-2}$

$u_{n-1}-u_{n-2}=2n^{n-3}$

$...$

$u_3-u_2=2n^1$

$u_2-u_1=2n^0$

Suy ra $u_n-u_1=2(n^0+n^1+...+n^{n-2}=2\frac{n^{n-1}-1}{n-1}\Leftrightarrow u_n=2\frac{n^{n-1}-1}{n-1}+1.$

[E. Galois]

Ta có $u_n=(n+1)u_{n-1}-nu_{n-2}\Leftrightarrow u_n-u_{n-1}=n(u_{n-1}-u_{n-2}). $

Nếu đặt $u_n-u_{n-1}=v_{n-1}$ thì ta được $v_n=nv_{n-1} .$

Khi đó $(v_n)$ là cấp số nhân có $v_1=u_2-u_1=2$ và $q=n.$

 

 

Cấp số nhân thì $q$ phải là hằng số bạn nhé.

 

Từ $v_n=nv_{n-1}, \forall n \geq 1$ ta suy ra $v_n=n!, \forall n \geq 1$. Khi đó

$$u_n-u_{n-1}=v_{n}=n!\Leftrightarrow u_n=u_{n-1}+n!, \forall n \geq 2$$

Do đó

$$\begin{align*} u_1&=1 \\ u_2 &= u_1 + 2! \\ u_3 &= u_2 + 3! \\ ... & ... \\   u_n &= u_{n-1} + n! \end{align*}$$

Cộng theo vế các đẳng thức trên ta được $u_n= \sum_{k=1}^{n} k!, \forall n \geq 1$.

Rất tiếc là không thể biểu diễn $u_n$ qua các hàm số sơ cấp.

 

$$\sum_{k=0}^{n}k!=\dfrac{i\pi}{e}+\dfrac{Ei (1)}{e}-\dfrac{(-1)^n \Gamma [n+2]\Gamma [-n-1,-1]}{e},$$

với

$$Ei(x) = -\int_{-x}^\infty \frac{e^{-t}}t dt = \int_{-\infty}^x \frac{e^t}t dt, \quad \Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1} e^{-t}dt; \quad \Gamma(s,x) = \int_x^{\infty} t^{s-1}\,e^{-t}dt$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 24-02-2024 - 01:25

[nguyenhuybao06]

Cấp số nhân thì $q$ phải là hằng số bạn nhé.

Dạ em cảm ơn ạ. Em mới học dãy số nên chưa biết nhiều ạ.