Tìm các số nguyên dương a,b,c sao cho $p = 3a^2 + b^2+c^2$ là số nguyên tố và $27a^4 + b^4+c^4 + b^2c^2$ chia hết cho p.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 98dfgfdubvh: 23-02-2024 - 21:03
$p = 3a^2 + b^2+c^2$
Bắt đầu bởi 98dfgfdubvh, 23-02-2024 - 20:11
#2
Đã gửi 23-02-2024 - 23:19
dinhvu
-
- Thành viên
-
- 75 Bài viết
Hạ sĩ
Có $27a^4+b^4+c^4+b^2c^2$ chia hết cho $p$ nên $27a^4+(b^2+c^2)^2-b^2c^2$ chia hết cho $p$
Hay $27a^4+9a^4-b^2c^2$ chia hết cho $p$ suy ra $(6a^2+bc)(6a^2-bc)$ chia hết cho $p$
TH1: $6a^2+bc$ chia hết cho$p$ suy ra $12a^2+2bc$ chia hết cho $p$ hay $9a^2+2bc-b^2-c^2=(3a+b-c)(3a-b+c)$ chia hết cho $p$
mà ta có $-(3a^2+b^2+c^2) \leq -(3a+b+c)< 3a+b-c$ và $3a-b+c$ $<3a+b+c\leq 3a^2+b^2+c^2$ nên suy ra vô lí
TH2: $6a^2 -bc$ chia hết cho $p$. CMTT ta có $(3a+b+c)(3a-b-c)$ chia hết cho $p$. CMTT như trên thì ta suy ra ngay$a=b=c=1$ ( Thử lại thỏa mãn)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dinhvu: 23-02-2024 - 23:19
- perfectstrong yêu thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
