Chủ đề này có 3 trả lời

[Lanlan90]

Với các số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn $a + b + c = 2$. Chứng minh $(1 - abc)(ab + bc + ca) \le 1$

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 06-03-2024 - 20:58
Tiêu đề & LaTeX

[chuyenndu]

GS a=min(a,b,c) $\Rightarrow a\le \frac{2}{3}$

xét $a\neq 0$

$(1-abc)\frac{abc+a^2(b+c)}{a}\le \frac{(1-abc+abc+a^2(b+c))^2}{4a}=\frac{(1+a^2(2-a))^2}{4a}$

cần CM $\frac{(1+a^2(2-a))^2}{4a}\le 1\Rightarrow (a-1)^2(a^2-3a+1)(a^2+a+1)\le 0$

vì $a\le \frac{2}{3}\Rightarrow a^2-3a+1\le 0$

[DaoTriBach]

GS a=min(a,b,c) $\Rightarrow a\le \frac{2}{3}$

xét $a\neq 0$

$(1-abc)\frac{abc+a^2(b+c)}{a}\le \frac{(1-abc+abc+a^2(b+c))^2}{4a}=\frac{(1+a^2(2-a))^2}{4a}$

cần CM $\frac{(1+a^2(2-a))^2}{4a}\le 1\Rightarrow (a-1)^2(a^2-3a+1)(a^2+a+1)\le 0$

vì $a\le \frac{2}{3}\Rightarrow a^2-3a+1\le 0$

Bất đẳng thức cuối có vẻ bị sai rồi 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DaoTriBach: 26-03-2024 - 21:40

[chuyenndu]

Bất đẳng thức cuối có vẻ bị sai rồi 

đúng với $\frac{2}{3}\le a\le 2$,giả sử a=max(a,b,c) là được