tìm tất cả các số nguyên tố $p$ và số nguyên dương $a$ sao cho $\frac{a^{2}+p}{ap^{2}-2}$ là số nguyên
$\frac{a^{2}+p}{ap^{2}-2}$ là số nguyên
Bắt đầu bởi Hahahahahahahaha, 06-03-2024 - 23:50
#1
Đã gửi 06-03-2024 - 23:50
Hahahahahahahaha
-
- Thành viên
-
- 104 Bài viết
Trung sĩ
Nơi nào có ý chí, nơi đó có con đường. Nếu trong triệu khả năng, có một khả năng bạn làm được điều gì đó, bất cứ điều gì, để giữ thứ bạn muốn không kết thúc, hãy làm đi. Hãy cạy cửa mở, hoặc thậm chí nếu cần, hãy nhét chân vào cửa để giữ cửa mở.
Where there is a will, there is a way. If there is a chance in a million that you can do something, anything, to keep what you want from ending, do it. Pry the door open or, if need be, wedge your foot in that door and keep it open.
Pauline Kael
#2
Đã gửi 07-03-2024 - 16:48
Duc3290
-
- Thành viên
-
- 73 Bài viết
Hạ sĩ
Đặt $\frac{a^2+p}{ap^2-2}=k$ với $k \in \mathbb{Z^+}$
Xét phương trình $\frac{x^2+p}{xp^2-2} = k \Leftrightarrow x^2-xkp^2+p+2k=0(*)$
Hiển nhiên phương trình $(*)$ có nghiệm $x=a$, gọi $x=A$ là nghiệm còn lại.
Theo hệ thức Vieta, ta có:
$$\begin{cases} a+ A = kp^2(1) \\ aA = p+2k(2) \end{cases}$$
Từ $(1)$ và $(2)$ dễ dàng có $A \in \mathbb{Z^+}$
Do đó $(a-1)(A-1)\geq 0 \Leftrightarrow aA \geq a+A-1 \Leftrightarrow p+2k \geq kp^2-1 \Leftrightarrow p+1\geq k(p^2-2)$
Với $p \geq 3: k(p^2-2) > k(p^2-4) = k(p-2)(p+2) \geq p+2 >p+1$, vô lý
Nên $p=2$, thay vào gt dễ dàng tìm được $a=2$
- perfectstrong, Hahahahahahahaha và Danpda47 thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
