tìm tất cả các số nguyên tố $p$ và số nguyên dương $a$ sao cho $\frac{a^{2}+p}{ap^{2}-2}$ là số nguyên
$\frac{a^{2}+p}{ap^{2}-2}$ là số nguyên
Started By Hahahahahahahaha, 06-03-2024 - 23:50
#1
Posted 06-03-2024 - 23:50
Hahahahahahahaha
-
- Thành viên
-
- 111 posts
Trung sĩ
Nơi nào có ý chí, nơi đó có con đường. Nếu trong triệu khả năng, có một khả năng bạn làm được điều gì đó, bất cứ điều gì, để giữ thứ bạn muốn không kết thúc, hãy làm đi. Hãy cạy cửa mở, hoặc thậm chí nếu cần, hãy nhét chân vào cửa để giữ cửa mở.
Where there is a will, there is a way. If there is a chance in a million that you can do something, anything, to keep what you want from ending, do it. Pry the door open or, if need be, wedge your foot in that door and keep it open.
__ Pauline Kael __
#2
Posted 07-03-2024 - 16:48
Duc3290
-
- Thành viên
-
- 80 posts
Hạ sĩ
Đặt $\frac{a^2+p}{ap^2-2}=k$ với $k \in \mathbb{Z^+}$
Xét phương trình $\frac{x^2+p}{xp^2-2} = k \Leftrightarrow x^2-xkp^2+p+2k=0(*)$
Hiển nhiên phương trình $(*)$ có nghiệm $x=a$, gọi $x=A$ là nghiệm còn lại.
Theo hệ thức Vieta, ta có:
$$\begin{cases} a+ A = kp^2(1) \\ aA = p+2k(2) \end{cases}$$
Từ $(1)$ và $(2)$ dễ dàng có $A \in \mathbb{Z^+}$
Do đó $(a-1)(A-1)\geq 0 \Leftrightarrow aA \geq a+A-1 \Leftrightarrow p+2k \geq kp^2-1 \Leftrightarrow p+1\geq k(p^2-2)$
Với $p \geq 3: k(p^2-2) > k(p^2-4) = k(p-2)(p+2) \geq p+2 >p+1$, vô lý
Nên $p=2$, thay vào gt dễ dàng tìm được $a=2$
- perfectstrong, Hahahahahahahaha and Danpda47 like this
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users
