Chủ đề này có 2 trả lời

[nhutduy27]

Cho số thực $x$, ký hiệu $\left [ x \right ]$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$. Thực hiện các yêu cầu sau:

a) Với $p$ là số nguyên tố có dạng $4k+1,k \in \mathbb{N}^{*}$. Tính $\sum_{i=1}^{p-1}\left [ \frac{i^2}{p} \right ]$

b) Với $p$ là số nguyên tố lẻ, $q$ là số nguyên dương không chia hết cho $p$. Chứng minh rằng $\sum_{k=1}^{p-1}\left [ \left ( -1 \right )^k.k^2.\frac{q}{p} \right ]=\frac{\left ( p-1 \right )\left ( q-1 \right )}{2}$

[hxthanh]

Bạn có thể xem ở đây Bài 2.19
Bên cạnh đó bạn có thể áp dụng Định lý 4 để làm bài số 1, nhé!

[nhutduy27]

a) $\sum_{i=1}^{p-1}\left [ \frac{i^2}{p} \right ]=\sum_{i=1}^{p-1}\frac{i^2}{p}-\sum_{i=1}^{p-1}\left \{ \frac{i^2}{p} \right \}=\frac{\left ( p-1 \right )p\left ( 2p-1 \right )}{6p}-\sum_{i=1}^{p-1}\left \{ \frac{i^2}{p} \right \}$

Với mỗi số $a \in\left \{ 1;2;...;p-1 \right \}$ bất kì, tồn tại duy nhất số $b\in\left \{ 1;2;...;p-1 \right \}$ để $a^2+b^2 \vdots p$.

Do đó ta có thể chia $\left \{ 1;2;...;p-1 \right \}$ thành $\frac{p-1}{2}$ cặp $\left(a;b\right)$ để $a^2+b^2 \vdots p$.

Khi đó: $\sum_{i=1}^{p-1}\left \{ \frac{i^2}{p} \right \}=\sum_{a,b}^{}\left(\left \{ \frac{a^2}{p} \right \} +\left \{ \frac{b^2}{p} \right \} \right)=\frac{p-1}{2}$, do đó$\sum_{i=1}^{p-1}\left [ \frac{i^2}{p} \right ]=\frac{\left ( p-1 \right )p\left ( 2p-1 \right )}{6p}-\frac{p-1}{2}$.