Cho số thực $x$, ký hiệu $\left [ x \right ]$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$. Thực hiện các yêu cầu sau:
a) Với $p$ là số nguyên tố có dạng $4k+1,k \in \mathbb{N}^{*}$. Tính $\sum_{i=1}^{p-1}\left [ \frac{i^2}{p} \right ]$
b) Với $p$ là số nguyên tố lẻ, $q$ là số nguyên dương không chia hết cho $p$. Chứng minh rằng $\sum_{k=1}^{p-1}\left [ \left ( -1 \right )^k.k^2.\frac{q}{p} \right ]=\frac{\left ( p-1 \right )\left ( q-1 \right )}{2}$