Chủ đề này có 4 trả lời

[Hahahahahahahaha]

1/  tìm các số nguyên $x,y,z$ sao cho $x+y+z=0$ và $xy+yz+zx+3=0$.

2/  Cho $t$ là số nguyên, chứng minh rằng nếu tồn tại các số nguyên $x,y,z$ khác $0$ sao cho $x+y+z=0$ và $xy+yz+zx+4t=0$ thì cũng tồn tại các số nguyên $x',y',z'$ khác $0$ sao cho $x'+y'+z'=0$ và $x'y'+y'z'+z'x'+t=0$.

3/ với $d$ là số nguyên dương, chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên $x,y,z$ khác $0$ sao cho $x+y+z=0$ và $xy+yz+zx+2^{d}=0$

[hanguyen445]

1/  tìm các số nguyên $x,y,z$ sao cho $x+y+z=0$ và $xy+yz+zx+3=0$.

2/  Cho $t$ là số nguyên, chứng minh rằng nếu tồn tại các số nguyên $x,y,z$ khác $0$ sao cho $x+y+z=0$ và $xy+yz+zx+4t=0$ thì cũng tồn tại các số nguyên $x',y',z'$ khác $0$ sao cho $x'+y'+z'=0$ và $x'y'+y'z'+z'x'+t=0$.

3/ với $d$ là số nguyên dương, chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên $x,y,z$ khác $0$ sao cho $x+y+z=0$ và $xy+yz+zx+2^{d}=0$

Bài 1. Do vai trò x, y, z bình đẳng và trong ba số x,y,z luôn có hai số cùng dấu. Không giảm tổng quát giả sử $xy\ge 0$.

Ta có $xy+3=(x+y)^2\Leftrightarrow x^2+y^2+xy=3 (*)$. Nếu trong (*) có ít nhất một số bằng 0, hiển nhiên vô lý. Do đó $x^2+y^2+xy\ge 3$, 

như vậy (*) xảy ra khi và chỉ khi (x;y) nhận các cặp là $(1;1); (-1;-1)$, thay ngược lại tương ứng z nhận {-2;2}.

Vậy bộ (x;y;z) cần tìm là (1;1;-2) và (-1;-1;2)

[hanguyen445]

1/  tìm các số nguyên $x,y,z$ sao cho $x+y+z=0$ và $xy+yz+zx+3=0$.

2/  Cho $t$ là số nguyên, chứng minh rằng nếu tồn tại các số nguyên $x,y,z$ khác $0$ sao cho $x+y+z=0$ và $xy+yz+zx+4t=0$ thì cũng tồn tại các số nguyên $x',y',z'$ khác $0$ sao cho $x'+y'+z'=0$ và $x'y'+y'z'+z'x'+t=0$.

3/ với $d$ là số nguyên dương, chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên $x,y,z$ khác $0$ sao cho $x+y+z=0$ và $xy+yz+zx+2^{d}=0$

Bài 2. Ta có

$xy+yz+zx=-4t \Rightarrow  xy+yz+zx\equiv 0(mod 4)$; $x^2+y^2+z^2=-2(xy+yz+zx)\Rightarrow x^2+y^2+z^2\equiv 0(mod 4) (*)$

Chú ý rằng $\forall t\in R $ thì $t^2\equiv 0;1(mod 4)$, kết hợp với (*) ta suy ra $x^2,y^2,z^2\equiv 0(mod 4)\Rightarrow x;y;z\equiv 0(mod 2) $

Đặt $(x;y;z)=(2x';2y';2z')\ne (0;0;0)$ (***), thay ngược lại vào đẳng thức $xy+yz+zx+4t=0$ thì ta có 

$$x'+y'+z'+t=0$$

Từ (***) hiển nhiên $(x';y';z')\ne (0;0;0)$, do đó phép chứng minh hoàn tất.

[Hahahahahahahaha]

một cách khác của bài 1

ta có:

$\left\{\begin{matrix}x+y+z=0 &  & \\ xy+yz+zx+3=0 &  & \end{matrix}\right.<=>\left\{\begin{matrix}x^{2}+y^{2}+z^{2}+2(xy+yz+zx)=0 &  & \\ xy+yz+zx=-3 &  & \end{matrix}\right.=>x^{2}+y^{2}+z^{2}=6$

vì $x,y,z$ là các số nguyên và $x^{2},y^{2},z^{2}$ là các số chính phương nên 

$x^{2},y^{2},z^{2}\in \left \{ 0;1;4 \right \}=>x,y,z\in\left \{ 0;\pm1;\pm2 \right \}$ mà $x+y+z=0$. Từ đó ta chọn được các bộ số như sau $x=2,y=z=-1$ hoặc $x=-2,y=z=1$ và các hoán vị của chúng

bài 2: 

nếu $x+y+z=0$ thì trong ba số $x,y,z$ có hai số lẻ và một số chẵn hoặc cả ba số cùng chẵn

+) nếu có hai số lẻ, một số chẵn. Không mất tính tổng quát giả sử $x,y$ lẻ và $z$ chẵn

khi đó ta được $x=2x'+1,y=2y'+1,z=2z'(x',y',z'\in Z)$. Suy ra ta có:

$0=x^{2}+y^{2}+z^{2}+4t=(2x'+1)^{2}+(2y'+1)^{2}+(2z')^{2}+4t=4(x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}+x'+y'+t)+2$

do $VT$ chia hết cho $4$ mà $VP$ không chia hết cho $4$ nên trường hợp này không xảy ra

Do đó cả ba số $x',y',z'$ cùng chẵn, khi đó ta chọn $x'=\frac{x}{2};y'=\frac{y}{2};z'=\frac{z}{2}=>x'+y'+z'=0$

 

và khi đó ta cũng có: $x'y'+y'z'+z'x'+t=\frac{xy+yz+zx}{4}+t=\frac{-4t}{4}+t=0$

Như vậy các số $x',y',z'$ như trên thỏa mãn yêu cầu bài toán

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hahahahahahahaha: 20-03-2024 - 20:45

[Danpda47]

3/ Xét các giá trị $d$ lần lượt tại $d = 0$ và $d = 1$ $\Rightarrow$ không thỏa mãn
Xét $d > 1$: Nếu d chẵn, đăt $d = 2k$ và $x+y+z=0, xy + yz + zx + 4k = 0$ và theo câu 1/ tồn tại các số nguyên $x_{1},y_{1},z_{1}$ thỏa $x_{1} + y_{1} + z_{1} = 0, x'y' + y'z' + z'x' + 4^{k-1} = 0$
Tương tự: tồn tại các số nguyên $x_{n}, y_{n}, z_{n}$ thỏa $x_{n} + y_{n} + z_{n} = 0, x_{n}y_{n} + y_{n}z_{n} + z_{n}x_{n} = -1$ (vô nghiệm)
Nếu d lẻ, đặt d = 2k + 1 (tương tự như d chẵn)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Danpda47: 24-03-2024 - 18:46