Chủ đề này có 1 trả lời

[ninhbinhk8]

Chứng minh rằng với mỗi n $\in \mathbb{Z^{+}}$ đều tồn tại 1 tập S gồm n số nguyên dương sao cho tổng của mọi tập con khác rỗng bất kì của S đều là lũy thừa đúng.

[nhungvienkimcuong]

Chứng minh rằng với mỗi n $\in \mathbb{Z^{+}}$ đều tồn tại 1 tập S gồm n số nguyên dương sao cho tổng của mọi tập con khác rỗng bất kì của S đều là lũy thừa đúng.

Đề ở đây chắc muốn nói lũy thừa có số mũ lớn hơn $1$.

 

Đề bài khó chịu, để có thể hiệu chỉnh đồng thời $2^n-1$ tập hợp là một việc mới nghe là thấy rất khó khăn, thế nên cần nhìn nhận vấn đề một cách kĩ càng hơn. Giả dụ có sẵn họ tập hợp $\{S_i\}_{i=1}^{2^n-1}$, ta mong muốn từ đây xây dựng họ tập hợp mới sao cho tổng các phần tử trong mỗi tập hợp đều là lũy thừa đúng. Đơn giản nhất để thay đổi tổng các phần tử là

• Cùng cộng các phần tử một lượng $a$, như vậy trở thành họ tập hợp mới là $\{S_i+a\}$,
• Hoặc cùng nhân các phần tử một lượng $a$, trở thành họ tập hợp mới $\{a S_i\}$.

Trong hai cách này thì việc nhân phần tử sẽ dễ thực hiện hơn (nháp các trường hợp đơn giản là thấy; chẳng hạn $S_1=\{2\},S_2=\{3\},S_3=\{10\}$). Từ đây ta thấy rằng chỉ cần chứng minh kết quả sau:

Mệnh đề

Cho các tập hợp khác rỗng $S_1,S_2,\dots,S_k\subset \mathbb{N}^*$. Kí hiệu $s_i$ là tổng các phần tử của tập hợp $S_i$. Khi đó tồn tại số nguyên dương $a$ sao cho: với mỗi $i\in\{1,2,\dots,k\}$ thì tích $a\cdot s_i$ đều là lũy thừa có số mũ lớn hơn $1$.

Gọi $p_1,p_2,\dots,p_k$ là các số nguyên tố phân biệt. Theo định lí Thặng dư Trung Hoa thì với mỗi $i\in \{1,2,\dots,k\}$, tồn tại số nguyên dương $t_i$ sao cho 

\[t_i+1\equiv 0\pmod{p_i}\quad\text{và}\quad t_i\equiv 0\pmod{p_j}\ \text{với}\ j\neq i.\]

Từ đây số $a=s_1^{t_1}s_2^{t_2}\cdots s_k^{t_k}$ thỏa đề, thật vậy

\[as_i=s_1^{t_1}s_2^{t_2}\cdots s_i^{t_i+1}\cdots s_k^{t_k}=\left(s_1^{t_1/p_i}s_2^{t_2/p_i}\cdots s_i^{(t_i+1)/p_i}\cdots s_k^{t_k/p_i} \right )^{p_i}.\]