Ta có bổ đề quen thuộc
$$\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}\leq \frac{2}{xy+1} \forall x,y \geq 0; xy \leq 1$$
Đặt $x = \sqrt{\frac{b}{a}},y = \sqrt{\frac{c}{b}},z = \sqrt{\frac{a}{c}}$ thì $x,y,z>0; xyz=1$ và bất đẳng thức cần chứng minh trở thành
$$\sum \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\leq \frac{3}{\sqrt{2}}$$
KMTQ, giả sử $x\leq y\leq z \Rightarrow xy \leq 1$
Áp dụng bổ đề trên ta có
$$\sqrt{\frac{1}{x^2+1}}+\sqrt{\frac{1}{y^2+1}}\leq \sqrt{2(\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1})}\leq \sqrt{\frac{4}{xy+1}}=2\sqrt{\frac{z}{z+1}}$$
Ta chỉ cần chứng minh
$$2\sqrt{\frac{z}{z+1}}+\sqrt{\frac{1}{z^2+1}}\leq \frac{3}{\sqrt{2}}(*)$$
Theo bất đẳng thức AM-GM:
$$2\sqrt{\frac{z}{z+1}}\leq \sqrt{2}(\frac{z}{z+1}+\frac{1}{2})$$
$$\sqrt{\frac{1}{z^2+1}}\leq \frac{\sqrt{2}}{z+1}$$
Nên bất đẳng thức $(*)$ đúng, ta có điều phải chứng minh