Chủ đề này có 5 trả lời

[nguyenhuybao06]

Bài toán. Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng $$\sqrt{\frac{a}{a+b}}+\sqrt{\frac{b}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{c}{c+a}}\leq\frac{3}{\sqrt{2}}.$$  

P/s: Đây là đề Trung Quốc 2005, mình tình cờ tìm được lời giải khá gọn nên đăng lên mời mọi người thảo luận chung.

[nguyenhuybao06]

Chuẩn hóa $a+b+c=3.$ Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có $$\sum\frac{3}{2\sqrt{2}}\sqrt{\frac{a}{a+b}}=\sum\frac{3}{2\sqrt{2}}\frac{\sqrt{a(b+c)}}{\sqrt{\sum ab}}\cdot\dfrac{\sqrt{\sum ab}}{\sqrt{(a+b)(b+c)}}\leq\sum\frac{9\sum ab}{8\sum ab}+\sum\frac{3\sum ab}{\prod(a+b)}\leq\frac{9}{8}+\frac{9}{8}=\frac{9}{4}.$$

Do đó $$\sum\sqrt{\frac{a}{a+b}}\leq\frac{3}{\sqrt{2}}$$

Đây là lời giải của mình, mời mọi người góp lời giải khác ạ.  

[dinhvu]

Lời giải

Đặt $P= \sqrt{\frac{a}{a+b}}+\sqrt{\frac{b}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{c}{c+a}}$ Thì theo bất đẳng thức Cauchy Schwarz ta có 
$P^2\leqslant [(a+c)+(b+a)+(c+b)][\frac{a}{(a+c)(a+b)}+\frac{b}{(b+c)(b+a)}+\frac{c}{(c+a)(c+b)}]=\frac{4(a+b+c)(ab+bc+ac)}{(a+b)(b+c)(c+a)}\leq \frac{9}{2}$

Do ta có $9(a+b)(b+c)(c+a)\geq 8(a+b+c)(ab+bc+ac)$ 
Vậy $\sum\sqrt{\frac{a}{a+b}}\leq\frac{3}{\sqrt{2}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dinhvu: 22-03-2024 - 20:28

[MHN]

Một cách khác.
https://diendantoanh...leq-frac3sqrt2/

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MHN: 22-03-2024 - 21:07

[hngmcute]

 bài này có thể quy đồng hết rồi dùng bunhiacopxki trên tử số

[Duc3290]

Ta có bổ đề quen thuộc 

$$\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}\leq \frac{2}{xy+1} \forall x,y \geq 0; xy \leq 1$$

Đặt $x = \sqrt{\frac{b}{a}},y = \sqrt{\frac{c}{b}},z = \sqrt{\frac{a}{c}}$ thì $x,y,z>0; xyz=1$ và bất đẳng thức cần chứng minh trở thành

$$\sum \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\leq \frac{3}{\sqrt{2}}$$

KMTQ, giả sử $x\leq y\leq z \Rightarrow xy \leq 1$

Áp dụng bổ đề trên ta có

$$\sqrt{\frac{1}{x^2+1}}+\sqrt{\frac{1}{y^2+1}}\leq \sqrt{2(\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1})}\leq \sqrt{\frac{4}{xy+1}}=2\sqrt{\frac{z}{z+1}}$$

Ta chỉ cần chứng minh 

$$2\sqrt{\frac{z}{z+1}}+\sqrt{\frac{1}{z^2+1}}\leq \frac{3}{\sqrt{2}}(*)$$

Theo bất đẳng thức AM-GM:

$$2\sqrt{\frac{z}{z+1}}\leq \sqrt{2}(\frac{z}{z+1}+\frac{1}{2})$$

$$\sqrt{\frac{1}{z^2+1}}\leq \frac{\sqrt{2}}{z+1}$$

Nên bất đẳng thức $(*)$ đúng, ta có điều phải chứng minh