Chủ đề này có 5 trả lời

[Normalcalculuslearner]

Với $a,b,c$ là các số thực không âm,chứng minh rằng : $\sqrt{a^2+2 b^2}+\sqrt{b^2+2 c^2}+\sqrt{c^2+2 a^2} \geqslant \sqrt{3}(a+b+c)$

ai gợi ý em bài này với😬

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 23-03-2024 - 21:57

[hngmcute]

bài này dùng minkowski nhé 

[Hahahahahahahaha]

áp dụng bdt Mincopxki ta có: 

$\sqrt{a^{2}+2b^{2}}+\sqrt{b^{2}+2c^{2}}+\sqrt{c^{2}+2a^{2}}\geq \sqrt{(a+b+c)^{2}+(\sqrt{2}a+\sqrt{2}b+\sqrt{2}c)^{2}}=\sqrt{3}(a+b+c)$

dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$

bài tương tự

chứng minh $\sqrt{a^{2}+(a+b)^{2}}+\sqrt{b^{2}+(b+c)^{2}}+\sqrt{c^{2}+(c+a)^{2}}\geq \sqrt{5}(a+b+c)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hahahahahahahaha: 23-03-2024 - 21:23

[tokitaouma24]

bài này bunhia hay minkovski đều được đúng k nhỉ

[MHN]

bài tương tự
chứng minh $\sqrt{a^{2}+(a+b)^{2}}+\sqrt{b^{2}+(b+c)^{2}}+\sqrt{c^{2}+(c+a)^{2}}\geq \sqrt{5}(a+b+c)$

Áp dụng BĐT Minkowski ta có:
$\sqrt{a^{2}+(a+b)^{2}}+\sqrt{b^{2}+(b+c)^{2}}+\sqrt{c^{2}+(c+a)^{2}}\geq \sqrt{(a+b+c)^2+(a+b+b+c+c+a)^2}=\sqrt{5}(a+b+c)$
Dấu $'='$ xảy ra khi $a=b=c$

[MHN]

Với $a,b,c$ là các số thực không âm,chứng minh rằng : $\sqrt{a^2+2 b^2}+\sqrt{b^2+2 c^2}+\sqrt{c^2+2 a^2} \geqslant \sqrt{3}(a+b+c)$

Bài này có một cách khác đó là sử dụng BĐT quen thuộc: $3(a^2+b^2+c^2)\geq (a+b+c)^2$

Ta có: $a^2+2b^2=a^2+b^2+b^2\geq \frac{(a+b+b)^2}{3}\Rightarrow \sqrt{a^2+2b^2}\geq \frac{a+2b}{\sqrt{3}}$

TT: $\sqrt{b^2+2c^2}\geq \frac{b+2c}{\sqrt{3}};\sqrt{c^2+2a^2}\geq \frac{c+2a}{\sqrt{3}}.$

$\Rightarrow VT\geq \frac{3(a+b+c)}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}(a+b+c).$

Dấu $'='$ xảy ra khi $a=b=c.$