Chủ đề này có 8 trả lời

[katcong]

Cho a,b,c là các só thực dương ; a+2b+3c=3

 

 

 

    Tìm Max của  $M= \frac{1}{a^2 +4b^2 +2} + \frac{1}{4b^2+9c^2+2} + \frac{1}{9c^2+a^2+2}$

[Hahahahahahahaha]

dự đoán $maxM$ là $\frac{3}{4}$ khi $a=1;b=\frac{1}{2};c=\frac{1}{3}$

+)đặt $a=x;2b=y;3c=z$ 

($x,y,z$ là các số thực dương)

+)khi đó ta đi chứng minh:

 $M=\frac{1}{x^{2}+y^{2}+2}+\frac{1}{y^{2}+z^{2}+2}+\frac{1}{z^{2}+x^{2}+2}\leq \frac{3}{4}$ với $x+y+z=3$

áp dụng bất đẳng thức phụ $\frac{1}{a+b}\leq \frac{1}{4a}+\frac{1}{4b}$ trong đó $a,b>0$

$ M\leq \frac{1}{2}(\frac{1}{x^{2}+1}+\frac{1}{y^{2}+1}+\frac{1}{z^{2}+1})$

do đó ta cần chứng minh: $\frac{1}{x^{2}+1}+\frac{1}{y^{2}+1}+\frac{1}{z^{2}+1}\leq \frac{3}{2}(*)$ với $x+y+z=3$

$(*)$ đúng nếu $\frac{4x^{2}}{3x^{2}+3}+\frac{4y^{2}}{3y^{2}+3}+\frac{4z^{2}}{3z^{2}+3}\geq 2$

thật vậy  $xy+yz+zx\leq \frac{(x+y+z)^{2}}{3}=3$

ta có: $\frac{4x^{2}}{3x^{2}+3}\leq\frac{4x^{2}}{(x^{2}+xy+xz)+(2x^{2}+yz)}\leq \frac{x^{2}}{x^{2}+xy+xz}+\frac{x^{2}}{2x^{2}+yz}=\frac{x}{x+y+z}+\frac{x^{2}}{2x^{2}+yz}$

tương tự:

$\frac{4x^{2}}{3x^{2}+3}+\frac{4y^{2}}{3y^{2}+3}+\frac{4z^{2}}{3z^{2}+3}\leq 1+\frac{x^{2}}{2x^{2}+yz}+\frac{y^{2}}{2y^{2}+xz}+\frac{z^{2}}{2z^{2}+xy}$

do đó ta đi chứng minh $\frac{x^{2}}{2x^{2}+yz}+\frac{y^{2}}{2y^{2}+xz}+\frac{z^{2}}{2z^{2}+xy}\leq 1(**)$ 

$(**) $ đúng nếu $\frac{3}{2}-(\frac{x^{2}}{2x^{2}+yz}+\frac{y^{2}}{2y^{2}+xz}+\frac{z^{2}}{2z^{2}+xy})\geq\frac{1}{2} $

hay $(\frac{yz}{2x^{2}+yz}+\frac{xz}{2y^{2}+xz}+\frac{xy}{2z^{2}+xy})\geq 1$ 

mà 

$ (\frac{yz}{2x^{2}+yz}+\frac{xz}{2y^{2}+xz}+\frac{xy}{2z^{2}+xy})=\frac{y^{2}z^{2}}{2x^{2}yz+y^{2}z^{2}}+\frac{x^{2}z^{2}}{2xy^{2}z+x^{2}z^{2}}+\frac{x^{2}y^{2}}{2xyz^{2}+x^{2}y^{2}}\geq \frac{(xy+yz+zx)^{2}}{(xy+yz+zx)^{2}}=1$ 

nên ta có đpcm

hmmm cái này mình bị ngược dấu . mn thông cảm cho sự nhầm lẵn này

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hahahahahahahaha: 27-03-2024 - 10:16

[katcong]

dự đoán $maxM$ là $\frac{3}{4}$ khi $a=1;b=\frac{1}{2};c=\frac{1}{3}$
+)đặt $a=x;2b=y;3c=z$
($x,y,z$ là các số thực dương)
+)khi đó ta đi chứng minh:
$M=\frac{1}{x^{2}+y^{2}+2}+\frac{1}{y^{2}+z^{2}+2}+\frac{1}{z^{2}+x^{2}+2}\leq \frac{3}{4}$ với $x+y+z=3$
áp dụng bất đẳng thức phụ $\frac{1}{a+b}\leq \frac{1}{4a}+\frac{1}{4b}$ trong đó $a,b>0$
$ M\leq \frac{1}{2}(\frac{1}{x^{2}+1}+\frac{1}{y^{2}+1}+\frac{1}{z^{2}+1})$
do đó ta cần chứng minh: $\frac{1}{x^{2}+1}+\frac{1}{y^{2}+1}+\frac{1}{z^{2}+1}\leq \frac{3}{2}(*)$ với $x+y+z=3$
$(*)$ đúng nếu $\frac{4x^{2}}{3x^{2}+3}+\frac{4y^{2}}{3y^{2}+3}+\frac{4z^{2}}{3z^{2}+3}\leq 2$
thật vậy $xy+yz+zx\leq \frac{(x+y+z)^{2}}{3}=3$
ta có: $\frac{4x^{2}}{3x^{2}+3}\leq\frac{4x^{2}}{(x^{2}+xy+xz)+(2x^{2}+yz)}\leq \frac{x^{2}}{x^{2}+xy+xz}+\frac{x^{2}}{2x^{2}+yz}=\frac{x}{x+y+z}+\frac{x^{2}}{2x^{2}+yz}$
tương tự:
$\frac{4x^{2}}{3x^{2}+3}+\frac{4y^{2}}{3y^{2}+3}+\frac{4z^{2}}{3z^{2}+3}\leq 1+\frac{x^{2}}{2x^{2}+yz}+\frac{y^{2}}{2y^{2}+xz}+\frac{z^{2}}{2z^{2}+xy}$
do đó ta đi chứng minh $\frac{x^{2}}{2x^{2}+yz}+\frac{y^{2}}{2y^{2}+xz}+\frac{z^{2}}{2z^{2}+xy}\leq 1(**)$
$(**) $ đúng nếu $\frac{3}{2}-(\frac{x^{2}}{2x^{2}+yz}+\frac{y^{2}}{2y^{2}+xz}+\frac{z^{2}}{2z^{2}+xy})\geq\frac{1}{2} $
hay $(\frac{yz}{2x^{2}+yz}+\frac{xz}{2y^{2}+xz}+\frac{xy}{2z^{2}+xy})\geq 1$
mà
$ (\frac{yz}{2x^{2}+yz}+\frac{xz}{2y^{2}+xz}+\frac{xy}{2z^{2}+xy})=\frac{y^{2}z^{2}}{2x^{2}yz+y^{2}z^{2}}+\frac{x^{2}z^{2}}{2xy^{2}z+x^{2}z^{2}}+\frac{x^{2}y^{2}}{2xyz^{2}+x^{2}y^{2}}\geq \frac{(xy+yz+zx)^{2}}{(xy+yz+zx)^{2}}=1$
nên ta có đpcm

Hình như sai ở phần"đúng nếu" đầu tiên đó bạn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi katcong: 26-03-2024 - 19:33

[chuyenndu]

(a,2b,3c)=(x,y,z) => x+y+z=3

cần cm $\sum\frac{1}{x^2+y^2+2}\le \frac{3}{4}\Leftrightarrow \sum\frac{x^2+y^2}{x^2+y^2+2}\ge \frac{3}{2}$

$\sum\frac{x^2+y^2}{x^2+y^2+2}\ge \frac{(\sum\sqrt{x^2+y^2})^2}{\sum(x^2+y^2+2)}=\frac{\sum x^2+\sum\sqrt{(x^2+y^2)(x^2+z^2)}}{\sum x^2+3}$

$\sum\sqrt{(x^2+y^2)(x^2+z^2)}\ge\sum (x^2+yz)\Rightarrow$ dpcm

[Danpda47]

Góp ý thêm:
Đặt: $x = a; 2b = y; 3c = z$ và $x,y,z \in \mathbb{R^{+}} \Rightarrow x + y + z = 3$
$\Rightarrow 3(xy+yz+zx) \leq (x+y+z)^2 = 9$ $\Rightarrrow xy+yz+zx \leq 3$ và $x^2 + y^2 + z^2 \leq 3$
Ta có: $(x+y)^2 \leq 2(x^2 + y^2)$
$\Rightarrow \frac{1}{x^2 + y^2 + 2} \leq \frac{1}{\frac{(x+y)^2}{2} + 2} = \frac{2}{(x+y)^2 + 4}$
$\Rightarrow VT = \sum \frac{2}{(x+y)^2 + 4} \leq \frac{3}{4}$
$\Leftrightarrow \sum \frac{4}{(x+y)^2 + 4} \leq \frac{3}{2}$
$\Leftrightarrow \sum (1-\frac{4}{(x+y)^2 + 4}) \geq \frac{3}{2}$
$\Rightarrow \sum \frac{(x+y)^2}{(x+y)^2+4} \geq \frac{3}{2} (*)$
Xét VT(*) $\geq \frac{(x+y+y+z+z+x)^2}{(x+y)^2 + (y+z)^2 + (z+x)^2}$
$= \frac{4(x+y+z)^2}{2(x^2+y^2+z^2) + 2(xy+yz+zx) + 12}$
$\geq \frac{4(x+y+z)^2}{24} \geq VP \Rightarrow$ đpcm
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=1$ hoặc $a=1; b=\frac{1}{2}; c = \frac{1}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Danpda47: 26-03-2024 - 20:56

[Duc3290]

Góp ý thêm:
Đặt: $x = a; 2b = y; 3c = z và x,y,z \in \mathbb{R} \Rightarrow x + y + z = 3$
$\Rightarrow 3(xy+yz+zx) \leq (x+y+z)^2 = 9 \Rightarrow xy+yz+zx \leq 3$ và $x^2 + y^2 + z^2 \leq 3$
Ta có: $(x+y)^2 \leq 2(x^2 + y^2)$
$\Rightarrow \frac{1}{x^2 + y^2 + 2} \leq \frac{1}{\frac{(x+y)^2}{2} + 2} = \frac{2}{(x+y)^2 + 4}$
$\Rightarrow VT = \sum \frac{2}{(x+y)^2 + 4} \leq \frac{3}{4}$
$\Leftrightarrow \sum \frac{4}{(x+y)^2 + 4} \leq \frac{3}{2}$
$\Leftrightarrow \sum (1-\frac{4}{(x+y)^2 + 4}) \geq \frac{3}{2}$
$\Rightarrow \sum \frac{(x+y)^2}{(x+y)^2+4} \geq \frac{3}{2} (*)$
Xét VT(*) $\geq \frac{(x+y+y+z+z+x)^2}{(x+y)^2 + (y+z)^2 + (z+x)^2}$
$= \frac{4(x+y+z)^2}{2(x^2+y^2+z^2) + 2(xy+yz+zx) + 12}$
$\geq \frac{4(x+y+z)^2}{24}$$ \geq VP$ $ \Rightarrow$ đpcm
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=1 or a=1; b=\frac{1}{2}; c = \frac{1}{3}$

Chỗ này ngược dấu rồi

[Danpda47]

Chỗ này ngược dấu rồi

Ok bạn, chắc mình bị sai ấy để mình xem lại (khá lâu tại mình hơi bận  )

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Danpda47: 26-03-2024 - 22:28

[dinhvu]

thì ở dưới mẫu thì đảo dấu mà đúng không

cái $x^2+y^2+z^2 \leqslant 3$ là sai rồi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dinhvu: 26-03-2024 - 22:15

[ordinaryperson]

chẳng nhẽ lại thủ pháp quy đồng