Chủ đề này có 2 trả lời

[kakachjmz]

Cho $x; y; z \ge 0$ và $3(x^2 + y^2 + z^2) + xy + yz + zx = 12$

Tìm $Max, Min$ của $A = xy + yz + zx + \frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{x+y+z}$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 21-04-2024 - 01:35
Tiêu đề & Bài viết

[ordinaryperson]

mình k bt dùng kí hiệu trong này 
$A= xy+yz+xz +\frac{12-xy-yz-xz}{3(x+y+z)}$

gt: $3(x+y+z)^2 - 5(xy+yz+xz)=12$

đắt $x+y+z=a, xy+yz+xz=b$.

Cm dc $a \le 3; b \le 3$

$A=b +\frac{12-b}{3a}=b+ \frac{a(12-b)}{3a^2}$

$A\le b+ \frac{36-3b}{12+5b} = \frac{9b+5b^2+36}{12+5b}$

CM $A\le 4 \Leftrightarrow 11b+12 \ge 5b^2$

$\Leftrightarrow 12 \ge 4b \Leftrightarrow 15b \ge 5b^2$ ( đúng)

$\Rightarrow A\le 4$

 

Min 

do $b\ge 0 \Rightarrow 3a^2 \ge 12 \Rightarrow a \ge 2$

$A= b + \frac{a(12-b)}{3a^2}$

$A\ge b+ \frac{24-2b}{12+5b} = \frac{5b^2+10b+24}{12+5b} \ge \frac{10b+24}{5b+12}=2$

$\min A=2$ khi $(x,y,z)$ là hoán vị của $(0,0,2)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ordinaryperson: 23-04-2024 - 20:31
LaTeX

[perfectstrong]

mình k bt dùng kí hiệu trong này 
A= xy+yz+xz +12-xy-yz-xz/3(x+y+z )

gt: 3(x+y+z)² - 5(xy+yz+xz)=12

đắt x+y+z=a, xy+yz+xz=b.

Cm dc a <=3 . b<=3

A=b +12-b/3a=b+ a(12-b)/3a²

A<= b+ 36-3b/12+5b = 9b+5b^2+36/12+5b

CM A<=4. tương đương 11b+12>=5b^2

Do 12>= 4b (=) 15b>=5b^2( đúng)

=) A<=4

 

Min 

do b>=0 =) 3a² >=12 =) a>=2

A= b + a(12-b)/3a² 

A>= b+ 24-2b/12+5b = 5b² +10b+24 / 12+5b >= 10b +24 / 5b+12 =2

Min A=2 khi (x,y,z) là hoán vị của (0,0,2)

Bạn học cách gõ LaTeX qua hướng dẫn ở đây https://diendantoanh...-trên-diễn-đàn/

Diễn đàn có nơi tập gõ LaTeX: https://diendantoanh...-trên-diễn-đàn/

Mình đã sửa bài của bạn theo LaTeX, tuy nhiên bạn không đặt dấu ngoặc để phân biệt tử số mẫu số gì cả, nên có thể có sai sót.