Chủ đề này có 2 trả lời

[chcd]

Cho x, y, z là các số thực dương. Tìm GTNN của

$P=\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}+\frac{y^{3}}{y^{2}+z^{2}}+\frac{z^{3}}{z^{2}+x^{2}}+\frac{1}{\sqrt{x+y+z}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chcd: 27-03-2024 - 12:17

[Hahahahahahahaha]

Cho x, y, z là các số thực dương. Tìm GTNN của

$P=\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}+\frac{y^{3}}{y^{2}+x^{2}}+\frac{z^{3}}{z^{2}+x^{2}}+\frac{1}{\sqrt{x+y+z}}$

chỗ này có chuẩn không vậy bạn

[William Nguyen]

Ta có:

$P=(x+y+z)-\left ( \frac{xy^2}{x^2+y^2}+\frac{yz^2}{y^2+z^2}+\frac{zx^2}{z^2+x^2} \right )+\frac{1}{\sqrt{x+y+z}}$

 

Với $x, y, z$ là các số dương có:

$x^2+y^2 \geq 2xy \Rightarrow \frac{xy^2}{x^2+y^2} \leq \frac{y}{2}$

tương tự:

$\frac{yz^2}{y^2+z^2} \leq \frac{z}{2}, \frac{zx^2}{z^2+x^2} \leq \frac{x}{2}$

 

$\Rightarrow \frac{xy^2}{x^2+y^2}+\frac{yz^2}{y^2+z^2}+\frac{zx^2}{z^2+x^2} \leq \frac{x}{2}+\frac{y}{2}+\frac{z}{2}$

 

$\Rightarrow P \geq \frac{x+y+z}{2} + \frac{1}{\sqrt{x+y+z}},$ $(1)$

 

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z.$

 

Tiếp tục có

$\frac{x+y+z}{2} + \frac{1}{\sqrt{x+y+z}} = \frac{x+y+z}{2} + \frac{1}{2\sqrt{x+y+z}} + \frac{1}{2\sqrt{x+y+z}}$

 

$\geq 3.\sqrt[3]{\frac{x+y+z}{2} . \frac{1}{2\sqrt{x+y+z}} . \frac{1}{2\sqrt{x+y+z}}}=\frac{3}{2}.$ $(2)$

 

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \frac{x+y+z}{2} = \frac{1}{2\sqrt{x+y+z}} \Leftrightarrow x+y+z=1.$

 

Từ $(1)$ và $(2) \Rightarrow P \geq \frac{3}{2}$. Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}.$

 

Vậy $min P = \frac{3}{2}$ tại $x=y=z=\frac{1}{3}.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi William Nguyen: 27-03-2024 - 16:03