Cho a, b là các số nguyên dương thỏa mãn $\frac{\left ( a+b \right )^{2}+4a}{ab}$ là số tự nhiên. Chứng minh nếu b là số lẻ thì a là số chính phương.
Chứng minh nếu b là số lẻ thì a là số chính phương
Bắt đầu bởi chcd, 27-03-2024 - 22:05
#1
Đã gửi 27-03-2024 - 22:05
#2
Đã gửi 28-03-2024 - 15:16
$gt \Rightarrow ab | a^2+b^2+4a $.
Đặt $a^2+b^2+4a=kab$ với $k \in \mathbb{Z^+}$
$\Leftrightarrow a(kb-a-4)=b^2(*)$
Gọi $d = gcd(a,kb-a-4) \Rightarrow \begin{cases} d | a \\ d | kb -a-4 \\ d | b \end{cases} \Rightarrow d | 4$
Mà $b$ lẻ nên $d$ lẻ, hay $d=1$. Do đó từ $(*)$ ta có $a$ là số chính phương
- perfectstrong và chcd thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh