Chủ đề này có 1 trả lời

[chcd]

Cho a, b là các số nguyên dương thỏa mãn $\frac{\left ( a+b \right )^{2}+4a}{ab}$ là số tự nhiên. Chứng minh nếu b là số lẻ thì a là số chính phương.

[Duc3290]

$gt \Rightarrow ab | a^2+b^2+4a $. 

Đặt $a^2+b^2+4a=kab$ với $k \in \mathbb{Z^+}$

$\Leftrightarrow a(kb-a-4)=b^2(*)$

Gọi $d = gcd(a,kb-a-4) \Rightarrow \begin{cases} d | a \\ d | kb -a-4 \\ d | b \end{cases} \Rightarrow d | 4$

Mà $b$ lẻ nên $d$ lẻ, hay $d=1$. Do đó từ $(*)$ ta có $a$ là số chính phương