Chủ đề này có 2 trả lời

[Nguyenminhhieu37]

Cho $n$ là số nguyên dương và $m$ là ước nguyên dương của $2n^2$ Chứng minh rằng $n^2 + m$ không là số chính phương

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 18-04-2024 - 19:03
Tiêu đề & Bài viết

[hanguyen445]

Cho $n$ là số nguyên dương và $m$ là ước nguyên dương của $2n^2$ Chứng minh rằng $n^2 + m$ không là số chính phương

Đặt $A=n^2+m$. Giả sử A là một số chính phương, khi đó tồn tại $ B\in N^*$ sao cho $A=B^2$

 

Nếu n=1  thì $m\in \{1;2\}$

+ Xét $m=1$ suy ra $A=n^2+1=B^2\Leftrightarrow (B-n)(B+n)=1\Rightarrow n=0$, mâu thuẫn với n nguyên dương.

+ Nếu $m=2\Rightarrow A=n^2+2=B^2\Leftrightarrow (B-n)(B+n)=2\Rightarrow n=\frac{1}{2}$, mâu thuẫn với n nguyên dương.

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 20-04-2024 - 14:56
LaTeX

[nhungvienkimcuong]

Cho $n$ là số nguyên dương và $m$ là ước nguyên dương của $2n^2$ Chứng minh rằng $n^2 + m$ không là số chính phương

Theo giả thiết thì $a=\frac{2n^2}{m}$ là số nguyên dương, khi đó

\[a^2(n^2+m)=n^2(a^2+2a).\]

Vì $a^2<a^2+2a<(a+1)^2$ nên $a^2+2a$ không thể là số chính phương, từ đây ta có điều cần chứng minh.