7 replies to this topic

[Khanh12321]

Bài toán:Cho hai số không âm a và b thỏa mãn $a^{2}+b^{2}$ = a+b.Tính GTLN của S=$\frac{a}{a+1} + \frac{b}{b+1}$
Đây có được coi là một hàm thuần nhất không ạ, nếu có thì có thể giải bằng pp chuẩn hóa + utc không

Edited by Khanh12321, 14-05-2024 - 23:41.

[nguyenhuybao06]

Không nhé bạn. 

[Khanh12321]

Không nhé bạn. 

bạn giải thích kĩ hơn một chút được không

[nguyenhuybao06]

bạn giải thích kĩ hơn một chút được không

Bạn có thể tham khảo ở đây: https://diendantoanh...hức-thuần-nhất/

[tomeps]

Bài toán:Cho hai số không âm a và b thỏa mãn $a^{2}+b^{2}$ = a+b.Tính GTLN của S=$\frac{a}{a+1} + \frac{b}{b+1}$

Tiện thể để mình giải luôn.
Những bài có giả thuyết hai đại lượng như thế này ($a^2+b^2$ và $a+b$) thì thường nên biến đổi về một đại lượng.
Trong trường hợp này thì nên biến đổi về $a+b$, do:
$S=1-\frac{1}{a+1}+1-\frac{1}{b+1}$
$\leq 2-\frac{4}{a+b+1+1}$ (1)
Theo bất đẳng thức cộng mẫu.
Ta có:
$a^2+b^2-(a+b)=0$
$\Leftrightarrow \frac{(a+b)^2}{2}-(a+b)\leq 0$
$\Leftrightarrow 0\leq a+b\leq 2$
Kết hợp với (1), ta có điều cần tìm. $maxS=1$ khi $a=b=1$.

[tomeps]

.

Edited by tomeps, 15-05-2024 - 20:24.

[M4th3nJ0Yer]

Mình không chuẩn hóa nhưng có 1 cách làm bằng UCT như sau, bạn có thể tham khảo

 

Bài toán:Cho hai số không âm a và b thỏa mãn $a^{2}+b^{2}$ = a+b.Tính GTLN của S=$\frac{a}{a+1} + \frac{b}{b+1}$
Đây có được coi là một hàm thuần nhất không ạ, nếu có thì có thể giải bằng pp chuẩn hóa + uct

Ta sẽ chứng minh $\frac{a}{a+1} \leqslant \frac{1}{4} \cdot a + \frac{1}{4}$, thật vậy, biến đổi tương đương được $\frac{(a-1)^2}{a+1} \geqslant 0$ (luôn đúng).  CMTT được $\frac{b}{b+1} \leqslant \frac{1}{4} \cdot b + \frac{1}{4}$. Cộng vế cho vế thu được $S \leqslant \frac{1}{4} \cdot (a+b) +\frac{1}{2}$  Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz - Bunyakovsky cho ta $2(a+b)=(1+1)(a^2+b^2) \geqslant (a+b)^2 \iff 2 \geqslant a+b \iff S \leqslant \frac{1}{4} \cdot 2 + \frac{1}{2} = 1$ P/S Admin cứu em ko xuống dòng được

Edited by M4th3nJ0Yer, 15-05-2024 - 21:43.

[Hoang Long Le]

Bài toán:Cho hai số không âm a và b thỏa mãn $a^{2}+b^{2}$ = a+b.Tính GTLN của S=$\frac{a}{a+1} + \frac{b}{b+1}$
Đây có được coi là một hàm thuần nhất không ạ, nếu có thì có thể giải bằng pp chuẩn hóa + utc không

Đưa bài toán về thuần nhất bằng việc viết lại $S=\dfrac{a}{a+\frac{a^2+b^2}{a+b}}+\dfrac{b}{b+\frac{a^2+b^2}{a+b}}$. Đến đây có thể bỏ qua điều kiện ban đầu và thích chuẩn hoá gì cũng được.