Đến nội dung


Hình ảnh
* * * * * 5 Bình chọn

$\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{cd}\leq {\sqrt[3]{(a+b+c)\cdot({b+c+d})}}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 MrMATH

MrMATH

    Nguyễn Quốc Khánh

  • Hiệp sỹ
  • 4047 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 02-03-2005 - 16:28

Bài toán: Cho 4 số dương $a,b,c,d$. Chứng minh bất đẳng thức:
$$\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{cd}\leq {\sqrt[3]{(a+b+c)\cdot({b+c+d})}}$$

#2 tranhydong

tranhydong

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 76 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:10CT,THPT chuyên Lê Hồng Phong,TP HCM

Đã gửi 05-09-2012 - 07:06

1/ Giải : Áp dụng Cauchy, Ta có
$\frac{b}{c+b} + \frac{b+c}{d+b+c}+\frac{a}{a+b+c}\geq \sqrt[3]{\frac{ab}{(a+b+c)(c+b+d)}}$
$\frac{c}{c+b} + \frac{d}{d+b+c}+\frac{b+c}{a+b+c}\geq \sqrt[3]{\frac{cd}{(a+b+c)(c+b+d)}}$
Cộng 2 vế rồi nhân chéo lên ta có đpcm .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tranhydong: 05-09-2012 - 11:37


#3 WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản trị
  • 1322 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 05-09-2012 - 09:42

1/ Giải : Áp dụng Cauchy, Ta có
$\frac{a}{a+b} + \frac{c}{a+b+c}+\frac{a+b}{a+b+d}\geq \sqrt[3]{\frac{ac}{(a+b+c)(a+b+d)}}$
$\frac{b}{a+b} + \frac{a+b}{a+b+c}+\frac{d}{a+b+d}\geq \sqrt[3]{\frac{bd}{(a+b+c)(a+b+d)}}$
Cộng 2 vế rồi nhân chéo lên ta có đpcm : Dấu ''='' xảy ra khi : $\frac{a}{b}=\frac{c}{a+b}=\frac{a+b}{d}$

Lơi giải rất đẹp nhưng hình như bạn nhầm đề bài và sai về bản chất của $AM-GM$ :mellow:
Lời giải chính xác như sau:
Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ta có:
$$\frac{b}{b+c}+\frac{b+c}{b+c+d}+\frac{a}{a+b+c}\geq 3.\sqrt[3]{\frac{ab}{(a+b+c)(b+c+d)}}$$
$$\frac{c}{b+c}+\frac{d}{b+c+d}+\frac{b+c}{a+b+c}\geq 3.\sqrt[3]{\frac{cd}{(a+b+c)(b+c+d)}}$$
Cộng vế the0 vế 2 bất đẳng thức trên ta được:
$$3\geq 3.\frac{\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{cd}}{\sqrt[3]{(a+b+c)(b+c+d)}}$$
$$\Leftrightarrow \sqrt[3]{(a+b+c)(b+c+d)}\geq \sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{cd}$$
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow$ {\begin{matrix} \frac{b}{b+c}=\frac{b+c}{b+c+d}=\frac{a}{a+b+c}\\ \frac{c}{b+c}=\frac{d}{b+c+d}=\frac{b+c}{a+b+c} \end{matrix}
Giải hệ này ta được $a=2b=2c=d$ $\square$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 05-09-2012 - 09:45

$$n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\dfrac{n}{e}\right)^n$$

 

“We can only see a short distance ahead, but we can see plenty there that needs to be done.” - Alan Turing


#4 diepviennhi

diepviennhi

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 318 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 05-09-2012 - 10:38

Từ bài toán này ta có được bất đẳng thức liên quan: chứng minh tương tự $\sqrt[3]{(a+b+c)(a+b+d)}\geq \sqrt[3]{ac}+\sqrt[3]{bd}$

#5 tranhydong

tranhydong

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 76 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:10CT,THPT chuyên Lê Hồng Phong,TP HCM

Đã gửi 05-09-2012 - 11:34

=)) chết , sáng vội quá gõ nhầm :D mod thông cảm .

#6 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 488 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 06-09-2012 - 23:05

Chấm điểm
WhjteShadow: 5 điểm

tranhydong: 5 điểm

1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh