Mình tìm thấy 1 bài giới thiệu về giả thuyết Riemann hay hay phù hợp cho các bạn học sinh phổ thông muốn giới thiệu với các bạn, giành cho những bạn yêu thích số học và hình học.
Được biết đến với cái tên bài toán thiên niên, kỷ giải thuyết Riemann xuất hiện từ những năm thế kỷ 19 liên quan đến câu hỏi cơ bản của số học thuần túy mà hiện nay đang trở thành 1 trong những bất ngờ lớn nhất của toán học vì sự liên ngành của nó. Câu hỏi ban đầu được đặt ra là sự phân bố các số nguyên tố trên tập các số tự nhiên, tuy nhiên lại liên quan mật thiết đến rất nhiều ngành toán học lý thuyết hiện đại ví dụ như hình học đại số, hình học số học, lý thuyết sác xuất cũng như các ngành vật lý lý thuyết hiện đại như hệ động lực lượng tử, lý thuyết hỗn độn lượng tử... Chúng ta hãy bắt đầu với những kiến thức quen thuộc của học sinh phổ thông, ký hiệu
http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?s vậy thì ta có 1 số kết quả sau đã được biết: Chuỗi trên hội tụ tuyệt đối và địa phương đều nếu phần thực
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\Gamma biểu thị cho hàm gamma. Euler đã chứng minh công thức sau, 1 công thức đóng vai trò quan trọng số 1 trong việc kết nối hàm zeta Riemann với số học:
Đối với
http://dientuvietnam.../mimetex.cgi?p. Có thể nhận thấy
 = \infty)
, xem như 1 hệ quả của định lý cơ bản thứ 2 của số học: Tồn tại vô hạn các số nguyên tố. Chính vì sự vô hạn của số nguyên tố cho nên người ta cố gắng tính xem mật độ phân bố của số nguyên tố trên số tự nhiên. Ta đưa vào khái niệm hàm số số nguyên tố như sau, đối với 1 số thực 
gọi  )
là số các số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng x, điều này có nghĩa  = )
#
. 1 trong những định lý cơ bản của số nguyên tố nói rằng khi 
thì ta có sự xấp xỉ gần đúng  \approx \dfrac {x} {log x})
hoặc thậm chí ta có thể làm mạnh sự xấp xỉ này hơn thông qua hàm  = \Bigint_2^{\infty} \dfrac {dt} {log t } \approx \pi ( x ) )
. Để chứng minh điều này các bạn phổ thông có thể tìm đọc cuốn Introduction to analytic and probabilistic number theory của Gérald Tenenbaum (tuy nhiên mình không chắc là chứng minh trong cuốn đó được đưa ra cho dạng xấp xỉ mạnh hay chỉ cho dạng tầm thường), 1 cuốn có thể nói là elementar, không yêu cầu các kiến thức cao cấp khác như Hình học đại số hay topo... Định lý này thực chất đã được Gauß tiên đoán từ lâu, nhưng mãi sau này mới được Hadamard và Poussin chứng minh hoàn thiện. Vào khoảng năm 1949 thì Selberg và Erdös tìm được chứng minh sơ cấp cho định lý nói trên, chứng minh này đúng theo nghĩa sơ cấp, hoàn toàn không dùng kiến thức giải tích phức hay lý thuyết hàm.
Theo như định lý trên thì hàm số số nguyên tố có thể biểu diễn dưới dạng  = Li ( x ) + R(x))
trong đó  )
được hiểu là phần dư và } {Li ( x )} = 0)
. Riemann tiên đoán rằng nếu x tiến tới vô cùng thì  = O ( \sqrt{x} log x ))
. 1 cách phát biểu tương tự cho giả thuyết này ( original ) của Riemann đó là: Tất cả các không điểm không tầm thường của hàm  )
nằm trên đường thẳng  = 1 / 2 \})
. Giả thuyết này được Riemann phát biểu trong bài báo "Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse" tại bài báo cáo hàng tháng tại Berlin Akademie vào tháng 11 năm 1859.
Giả thuyết này của Riemann sau này được Artin và Weil tổng quát hóa cho các đa tạp đại số trên 1 trường hữu hạn bất kỳ.
Bạn nào thông thạo tiếng đức có thể xem tại đây:
http://www.mathemati...r...ormula PDF"
Nếu ai quan tâm tới lãnh vực này và muốn tìm hiểu sâu thì có lẽ bài báo đáng đọc là của Connes, người đã và đang phát triển bộ môn hình học không giao hoán, 1 công cụ cực mạnh, tương lai cho phép nhìn nhận toàn bộ lý thuyết hàm zeta cũng như hình học đại số dưới quan điểm của hệ động lực lượng tử, lý thuyết chaos lượng tử... (là những lý thuyết xuất phát từ vật lý).
