Chủ đề này có 3 trả lời

[QUANVU]

Giả sử $a_1,a_2,...,a_n\in\mathbb Z$ sao cho $n|a_1+a_2+...+a_n$. Chứng minh rằng có hai hoán vị $(b_1,b_2,...,b_n),(c_1,c_2,...,c_n)$ của $\{1,2,...,n\}$ sao cho với mỗi $1\leq i\leq n$ ta có $n|a_i-b_i-c_i$.

[HUYVAN]

Giả sử $a_1,a_2,...,a_n\in\mathbb Z$ sao cho $n|a_1+a_2+...+a_n$. Chứng minh rằng có hai hoán vị $(b_1,b_2,...,b_n),(c_1,c_2,...,c_n)$ của $\{1,2,...,n\}$ sao cho với mỗi $1\leq i\leq n$ ta có $n|a_i-b_i-c_i$.

Bạn nào đã có lời giải cho bài này thì post lên mọi người tham khảo nhé, kẻo nó chìm mất

[DinhCuongTk14]

Bài này ý tuởng của mình như sau :
Đầu tiên ta chỉ quan tâm tới n -1 số.
Xây dựng bảng n.n và ô (i,j )chỉ được dặt số đ?#8220;ng dư (i+j).
Ta chứng minh rằng với mọi m thì có thể đặt vào bảng m,n m số sao cho 2 số bất kì kô cùng hàng và cột
Ta chứng minh bằng quy nạp theo m
Giả sử kl đúng tới m
Ta chon / vào cột thứ m+1
và giả sử đã chọn các giá trị khác vào các cột còn lại
DO đó t?#8220;n tại cột trống gọi cột trong là i
Với mỗi a_i gọi p(i) là cột chứa a_i suy ra i khác p(j)

Ta thực hiện các phép chuyển đổi giữa các cột như sau :
Nếu t?#8220;n tại giả sử a_1 sao cho
a_1- p(1)=a_m- (m+1)
ta chuyển a_1 sang cột i
Cứ tiếp tục như vậy
Ta thấy rằng số lần di chuyển là hứu hạn ( tối đa m-1 làn ) và các số đều di chuyển một lần
Do mỗi số khác hàng và cột
DO đó sau một số lần xác định sẽ đưa về tính trạng thỏa mãn.
Mình còn một hứong đi khác khi nào rảnh mình sẽ post lên sau :

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DinhCuongTk14: 15-01-2007 - 18:05

[manutd]

dinhcuong chỉnh lại bài viết cho cẩn thận mới đọc được chứ. Bài này MU đã xem lời giải trong IMO sl2005 nhưng xem ra nó rất khó hiểu, nên rất hi vọng ở lời giải của dinhcuong.