Cho $a_1,a_2,\ldots,a_n$ là các số nguyên. Chứng minh rằng $\displaystyle\prod_{1\le i<j\le n} \dfrac{a_i-a_j}{i-j} \in \mathbb{Z}$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi manutd: 19-01-2007 - 07:54
#1
Đã gửi 17-01-2007 - 11:35
manutd
-
- Thành viên
-
- 609 Bài viết
Thiếu úy
Ai có thể giúp mình post lời giải đầy đủ của bài toán sau:
Cho $a_1,a_2,\ldots,a_n$ là các số nguyên. Chứng minh rằng $\displaystyle\prod_{1\le i<j\le n} \dfrac{a_i-a_j}{i-j} \in \mathbb{Z}$.
Cho $a_1,a_2,\ldots,a_n$ là các số nguyên. Chứng minh rằng $\displaystyle\prod_{1\le i<j\le n} \dfrac{a_i-a_j}{i-j} \in \mathbb{Z}$.
không thể online nhiều được nữa, hẹn gặp lại diễn đàn trong một ngày gần đây
#2
Đã gửi 17-01-2007 - 18:07
tanlsth
-
- Hiệp sỹ
-
- 1428 Bài viết
Tiến Sĩ Diễn Đàn Toán
Bài này mình giải hơi phức tạp một chút nên khó có thể post lời giải đầy đủ lên chu MU tham khảo
Tuy nhiên ý tưởng là so sánh số mũ của $ p $ ở cả tử và mẫu
Tuy nhiên ý tưởng là so sánh số mũ của $ p $ ở cả tử và mẫu
Learn from yesterday,live for today,hope for tomorrow
The important thing is to not stop questioning
#3
Đã gửi 17-01-2007 - 19:00
manutd
-
- Thành viên
-
- 609 Bài viết
Thiếu úy
okie, tanlsth cố gắng giúp mình đi. Bài này mình có lời giải rồi, tuy nhiên có phần xử lí cuối cùng thì bị sai. Vì vậy mới nhờ đến mọi người. Một nhận xét theo mình là khá hay khi tính số mũ của $p$ trong bài này là:
Giả sử trong $n$ số nguyên $a_1<a_2<\ldots<a_n$, có $x_i$ số chia hết cho $p^i$, $i=1,2,\ldots$. Khi đó, số mũ của $p$ trong khai triển thừa số nguyên tố của tích $a_1a_2\ldots a_n$ bằng $x_1+x_2+\ldots$.
Anh QUANVU vào tham gia với đi, em nghĩ là anh biết bài này trong đề thi nào, vì bài này có lâu rồi.
Giả sử trong $n$ số nguyên $a_1<a_2<\ldots<a_n$, có $x_i$ số chia hết cho $p^i$, $i=1,2,\ldots$. Khi đó, số mũ của $p$ trong khai triển thừa số nguyên tố của tích $a_1a_2\ldots a_n$ bằng $x_1+x_2+\ldots$.
Anh QUANVU vào tham gia với đi, em nghĩ là anh biết bài này trong đề thi nào, vì bài này có lâu rồi.
không thể online nhiều được nữa, hẹn gặp lại diễn đàn trong một ngày gần đây
#4
Đã gửi 17-01-2007 - 19:31
QUANVU
-
- Hiệp sỹ
-
- 4378 Bài viết
B&S-D
Bài này á? Anh không biết nó nằm trong đề thi nào? Nhưng biết một chứng minh của nó dựa vào một kết quả của B. SURY. Nhưng anh chỉ post nó lên khi mọi người tiếp tục được và hoàn thành lời giải theo hướng cũ.Ai có thể giúp mình post lời giải đầy đủ của bài toán sau:
Cho $a_1,a_2,\ldots,a_n$ là các số nguyên. Chứng minh rằng $\prod_{1\le i<j\le n} \dfrac{a_i-a_j}{i-j} \in \mathbb{Z}$.
1728
#5
Đã gửi 19-01-2007 - 00:59
ctlhp
-
- Thành viên
-
- 375 Bài viết
Đức Thành
#6
Đã gửi 19-01-2007 - 01:11
QUANVU
-
- Hiệp sỹ
-
- 4378 Bài viết
B&S-D
Đã xem qua, lời giải có vẻ khác của manutd và tanlsth. Hai đứa cố lên, rồi anh post lời giải mà anh biết cho mà xem 
1728
#7
Đã gửi 22-01-2007 - 16:38
tanlsth
-
- Hiệp sỹ
-
- 1428 Bài viết
Tiến Sĩ Diễn Đàn Toán
Bổ đề
Cho $ 2 $ dãy $ \{b_i\}_{i=1}^r ,\{c_i\}_{i=1}^r \in Z $ thỏa mãn với mọi $ p^a,p \in P $ thì số số hạng trong $\[b_i\}_{i=1}^r $ chia hết cho $p^a $ không ít hơn trong $ \{c_i\}_{i=1}^r $
Khi đó $ \dfrac{b_1..b_r}{c_1..c_r} \in Z $
Trở lại bài toán ta có
Xét $ p^k,p \in P $ bất kì
Gọi $ x_j $ là số số $ a_i $ thỏa mãn $ a_i \equiv j (mod p^k) $
Đánh giá số số hạng dạng $ a_i-a_j \vdots p^k $ là $\sum\limits_{i=0}^{p^k-1}C_{x_i}^2 $ lốn hơn số các số dạng $ i-j $ chia hết cho $ i-j $ với $ 1 \leq i,j\leq n $
Áp dụng bổ đề ta có diều phải chứng minh
Cho $ 2 $ dãy $ \{b_i\}_{i=1}^r ,\{c_i\}_{i=1}^r \in Z $ thỏa mãn với mọi $ p^a,p \in P $ thì số số hạng trong $\[b_i\}_{i=1}^r $ chia hết cho $p^a $ không ít hơn trong $ \{c_i\}_{i=1}^r $
Khi đó $ \dfrac{b_1..b_r}{c_1..c_r} \in Z $
Trở lại bài toán ta có
Xét $ p^k,p \in P $ bất kì
Gọi $ x_j $ là số số $ a_i $ thỏa mãn $ a_i \equiv j (mod p^k) $
Đánh giá số số hạng dạng $ a_i-a_j \vdots p^k $ là $\sum\limits_{i=0}^{p^k-1}C_{x_i}^2 $ lốn hơn số các số dạng $ i-j $ chia hết cho $ i-j $ với $ 1 \leq i,j\leq n $
Áp dụng bổ đề ta có diều phải chứng minh
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tanlsth: 22-01-2007 - 16:40
Learn from yesterday,live for today,hope for tomorrow
The important thing is to not stop questioning
#8
Đã gửi 17-02-2007 - 19:53
QUANVU
-
- Hiệp sỹ
-
- 4378 Bài viết
B&S-D
Chứng minh bổ đềBổ đề
Cho $ 2 $ dãy $ \{b_i\}_{i=1}^r ,\{c_i\}_{i=1}^r \in Z $ thỏa mãn với mọi $ p^a,p \in P $ thì số số hạng trong $\[b_i\}_{i=1}^r $ chia hết cho $p^a $ không ít hơn trong $ \{c_i\}_{i=1}^r $
Khi đó $ \dfrac{b_1..b_r}{c_1..c_r} \in Z $
http://diendantoanhoc.net/index.php?act=ST&f=92&t=12504
1728
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
