Đến nội dung


Hình ảnh

$(9ac+bd)(ad+bc)=a^2d^2+10abcd+b^2+c^2$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 NAPOLE

NAPOLE

    Napoleon Bonaparte

  • Pre-Member
  • 328 Bài viết
  • Đến từ:THPTTXCL
  • Sở thích:Bđt và phương trình nhưng ko có Hình (tui dở hình tàn nhẫn )

Đã gửi 03-04-2007 - 07:35

Tìm $a,b,c,d$ nguyên dương thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:
1) $bd>ad+bc$
2) $(9ac+bd)(ad+bc)=a^2d^2+10abcd+b^2+c^2$
Defense Of The Ancients

#2 nguyenta98

nguyenta98

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1259 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Number theory, Combinatorics-number theory problems

Đã gửi 13-10-2012 - 18:11

Tìm $a,b,c,d$ nguyên dương thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:
1) $bd>ad+bc$
2) $(9ac+bd)(ad+bc)=a^2d^2+10abcd+b^2+c^2$

Giải như sau:
$\boxed{\text{KN1}}$
$b,c\geq 2$
Trước tiên ta có BDT $b^2c^2>(b^2+c^2)$ với $b,c\geq 2$
Ta có $bd>ad+bc \Rightarrow bd>ad \Rightarrow b>a$ và $(b-a)d>bc \Rightarrow d>\dfrac{bc}{b-a}$
Mặt khác $a^2d^2+10abcd+b^2+c^2-(9ac+bd)(ad+bc)=0$
$\Rightarrow a(b-a)d^2-c(b-a)(9a-b)d+(9abc^2-b^2-c^2)=0$
TH1: $9a>b$ khi ấy
$a(b-a)d^2-c(b-a)(9a-b)d+(9abc^2-b^2-c^2)=0$
$\Leftrightarrow d^2-\dfrac{c(9a-b)}{a}.d+\dfrac{9abc^2-b^2-c^2}{a(b-a)}=0$
$\Leftrightarrow \left(d-\dfrac{c(9a-b)}{2a}\right)^2+\dfrac{9abc^2-b^2-c^2}{a(b-a)}-\left(\dfrac{c(9a-b)}{2a}\right)^2=0$
Ta có $\left(d-\dfrac{c(9a-b)}{2a}\right)^2\geq 0$
Xét $\dfrac{9abc^2-b^2-c^2}{a(b-a)}-\left(\dfrac{c(9a-b)}{2a}\right)^2=\dfrac{4(9abc^2-b^2-c^2)a-c^2(9a-b)^2(b-a)}{4a^2(b-a)}$
Ta lại có $4(9abc^2-b^2-c^2)a-c^2(9a-b)^2(b-a)>4(9abc^2-b^2c^2)a-c^2(9a-b)^2(b-a)=c^2(9a-b)(3a-b)^2\geq 0$
Do đó $\dfrac{9abc^2-b^2-c^2}{a(b-a)}-\left(\dfrac{c(9a-b)}{2a}\right)^2>0$
Như vậy $\left(d-\dfrac{c(9a-b)}{2a}\right)^2+\dfrac{9abc^2-b^2-c^2}{a(b-a)}-\left(\dfrac{c(9a-b)}{2a}\right)^2>0$ vô lí
TH2: $b\geq 9a$
Khi ấy đặt $f(d)=a(b-a)d^2+c(b-a)(b-9a)d+(9abc^2-b^2-c^2)$ khi ấy xét $d'>d$ và $d',d>\dfrac{bc}{b-a}$ (theo đk của đề bài)
Dễ dàng cm $f(d)<f(d')$ nên $f(d)$ là hàm đồng biến trên $\left(\dfrac{bc}{b-a},+\infty\right)$
Suy ra $f(d)>f\left(\dfrac{bc}{b-a}\right)$
Thay $\dfrac{bc}{b-a}=d$ vào $a(b-a)d^2+c(b-a)(b-9a)d+(9abc^2-b^2-c^2)$ ta có ngay $f(d)>\dfrac{ab^2+ac^2+b^3c^2-b^3-bc^2}{b-a}>0$ (do $b^3c^2-b^3-bc^2=b^3(c^2-1)-bc^2=b(b^2c^2-b^2)-bc^2$ thấy $b^2c^2-b^2>c^2$) suy ra $f(d)>0$ cũng vô lí
$\boxed{\text{KN2}}$ trong hai số $b,c$ có một số bằng $1$ nhưng thấy do $b>a$ nên $b>1$ suy ra $c=1$
Do đó $(9a+bd)(ad+b)=a^2d^2+10abd+b^2+1$
$\Rightarrow 9a^2d+9ab+bad^2+b^2d=a^2d^2+10abd+b^2+1$
$\Rightarrow b^2(d-1)+ba(d-1)(d-9)-(a^2d^2-9a^2d+1)=0$
Ta thấy nếu $d\geq 9$ khi đó đặt $f(b)=b^2(d-1)+ba(d-1)(d-9)-(a^2d^2-9a^2d+1)$
Xét $b'>b$ khi ấy $f(b')-f(b)=(b'-b)(b'+b)(d-1)+(b'-b)a(d-1)(d-9)=(b'-b)(d-1)(b'+b+a(d-9))>0$ suy ra $f(b)$ đồng biến mà $b>a$ nên $f(b)>f(a) \Rightarrow f(b)>a^2(d-1)+a^2(d-1)(d-9)-(a^2d^2-9a^2d+1)=8a^2-1>0$ suy ra $f(b)>0$ vô lí vì $f(b)=0$
Do đó $d<9$ nên $d=1,2,3,4,5,6,7,8$
$\Delta_b=a^2(d-1)^2(d-9)^2+4(d-1)(a^2d^2-9a^2d+1)=(d-1)(a^2(d-9)(d-3)^2+4)$ suy ra $d=1,3$ vì nếu $d>1$ và $d\neq 3$ thì có $d-1>0$ và $a^2(d-9)(d-3)^2+4=4-(9-d)a^2(d-3)^2$ và do $\Delta_b\geq 0$ nên $4-(9-d)a^2(d-3)^2\geq 0$ mà $d<9$ nên $a^2(d-3)^2(9-d)\le 4$ từ đó dễ dàng giải ra vô nghiệm như vậy $d=1,3$
Nếu $d=1$ thay vào $f(b)$ thu được $a^2-9a^2+1=0$ loại
Nếu $d=3$ thay vào $f(b)$ thu được $2b^2-12ab-(9a^2-27a^2+1)=0$ suy ra $2(b-3a)^2=1$ loại
Vậy phương trình vô nghiệm nguyên dương

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 14-10-2012 - 18:43


#3 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 488 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 14-10-2012 - 21:43

Chấm điểm:
nguyenta98: 10 điểm

1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh