Cho 2 số thực a,b thoả mãn a > b và ab<0.
Tìm Min của A= $\left ( a-b \right )^{2}+\left ( a-b+\frac{1}{a}-\frac{1}{b} \right )^{2}$
Đặt -b=c. Vì a>b và ab>0 nên a>0, b<0 $\Rightarrow$ a,c>0Ta có :
Cho 2 số thực a,b thoả mãn a > b và ab<0.
Tìm Min của A= $\left ( a-b \right )^{2}+\left ( a-b+\frac{1}{a}-\frac{1}{b} \right )^{2}$
Đặt -b=c. Vì a>b và ab>0 nên a>0, b<0 $\Rightarrow$ a,c>0Ta có :
"Nothing is impossible"
(Napoleon Bonaparte)
Cho a,b dương $a^{3}+8b^{3}=1$ Tìm max $P=\sqrt[3]{1+2a^{2}}+\sqrt[3]{1+8b^{2}}$
Cho các số thực không âm a,b,c thoả mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$
Chứng minh rằng :
$\frac{a}{a^{2}+2b+3}+\frac{b}{b^{2}+2c+3}+\frac{c}{c^{2}+2a+3}\leq \frac{1}{2}$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :
$a^{2}+2b+3\geq2a+2b+2\Rightarrow \sum \frac{1}{a^{2}+2b+3}\leq\sum \frac{1}{2a+2b+2}=\frac{1}{2}\sum\frac{1}{a+b+1}$
Ta lại có : $\sum\frac{b}{a+b+1}=3-\sum \frac{a+1}{a+b+1}=3-\sum \frac{(a+1)^{2}}{(a+1)(a+b+1)}$
$\leq3-\frac{(a+b+c+3)^{2}}{\sum (a+1)(a+b+1)}=3-\frac{(a+b+c+3)^{2}}{\sum(a^{2}+ab+2a+b+1)}$
$=3-\frac{(a+b+c+3)^{2}}{\frac{1}{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca+6(a+b+c)+a^{2}+b^{2}+c^{2}+6)}$
$=3-\frac{(a+b+c+3)^{2}}{\frac{1}{2}(a+b+c+3)^{2}}=3-2=1$
Vậy : $\sum \frac{1}{a^{2}+2b+3}\leq\frac{1}{2}\sum\frac{1}{a+b+1}\leq\frac{1}{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namsub: 05-04-2013 - 11:01
"Nothing is impossible"
(Napoleon Bonaparte)
Cho a,b dương $a^{3}+8b^{3}=1$ Tìm max $P=\sqrt[3]{1+2a^{2}}+\sqrt[3]{1+8b^{2}}$
Áp dụng BĐT $(a+b)^{3}\leq 4(a^{3}+b^{3})$
Ta có :
$P^{3}\leq 4(2+2a^{2}+8b^{2})=8+8(a^{2}+4b^{2})\leq 8+8.\sqrt{(a^{3}+8b^{3})(a+2b)}=8+8\sqrt{a+2b}\leq 8+8.\sqrt{\sqrt[3]{4(a^{3}+8b^{3})}}=8+8.\sqrt[6]{4}\Rightarrow P\leq \sqrt[3]{8+8.\sqrt[6]{4}}$
$MaxP= \sqrt[3]{8+8.\sqrt[6]{4}}\Leftrightarrow a=\frac{1}{\sqrt[3]{2}};b=\frac{1}{\sqrt[3]{16}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 05-07-2013 - 19:31
Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
Welcome to My Facebook !
Thử nhé:
Cho các số thực dương a; b; c. Chứng minh rằng:
$\sum\sqrt[4](2a^{4}+3b^{4})\geq \frac{1}{\sqrt[12]{5}}(\sum\sqrt[3]{2a^{3}+3b^{3}})$
CMR:$3a^3+7b^3 \geq 9ab^2$ với mọi $a,b \geq 0$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyentrunghieua: 31-07-2013 - 14:45
Cuộc sống không phải là một cuộc chạy đua, nó là một cuộc hành trình mà bạn có thể tận hưởng từng bước khám phá.
I LOVE MATH
CMR:$3a^3+7b^3 \geq 9ab^2$ với mọi $a,b \geq 0$
$$\text{AM-GM:} \ \ 3a^3+7b^3 \geq 3(a^3+b^3+b^3) \geq 9 ab^2$$
Câu nói bất hủ nhất của Joker :
Joker để dao vào mồm Gambol nói : Mày muốn biết vì sao tao có những vết sẹo trên mặt hay không ? Ông già tao là .............. 1 con sâu rượu, một con quỷ dữ. Và một đêm nọ , hắn trở nên điên loạn hơn bình thường . Mẹ tao vớ lấy con dao làm bếp để tự vệ . Hắn không thích thế ... không một chút nào . Vậy là tao chứng kiến ... cảnh hắn cầm con dao đi tới chỗ bà ấy , vừa chém xối xả vừa cười lớn . Hắn quay về phía tao và nói ... "Sao mày phải nghiêm túc?". Hắn thọc con dao vào miệng tao. "Hãy đặt nụ cười lên khuôn mặt nó nhé". Và ... "Sao mày phải nghiêm túc như vậy ?"
Cho biểu thức S=a^2+b^2+c^2+d^2+ac+bd trong đó ad-bc=1.CMR S$\geqslant$ $\sqrt{}$3
Cuộc sống không phải là một cuộc chạy đua, nó là một cuộc hành trình mà bạn có thể tận hưởng từng bước khám phá.
I LOVE MATH
Cho biểu thức S=a^2+b^2+c^2+d^2+ac+bd trong đó ad-bc=1.CMR S$\geqslant$ $\sqrt{}$3
Tham khảo ở đây
Chú ý Latex
Cho biểu thức S=a^2+b^2+c^2+d^2+ac+bd trong đó ad-bc=1.CMR S$\geqslant$ $\sqrt{}$3
Xét $4(S-\sqrt{3})=4\left [ \sum a^2+ac+bd-\sqrt{3}(ad-bc) \right ]=(a+b\sqrt{3}+2c)^2+(a\sqrt{3}-b-2d)^2\geq 0$
Mọi người dùng cauchy-shwarz và cộng mẫu côsi giúp mình bài này nha
Cho $a+b+c=1$ và $a,b,c> 0$.CMR:
$\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\leq \sqrt{6}$$\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\leq \sqrt{6}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lethanhson2703: 20-10-2013 - 09:43
Cho$a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$
CMR $\mid a+2b+3c\mid \leq \sqrt{14}$
Mọi người thử sức làm câu này nha.
Gợi ý dùng cauchy-shwarz
Mọi người dùng cauchy-shwarz và cộng mẫu côsi giúp mình bài này nha
Cho $a+b+c=1$ và $a,b,c> 0$.CMR:
$\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\leq \sqrt{6}$$\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\leq \sqrt{6}$
Ta có này cho nhanh $(1.\sqrt{a+b}+1.\sqrt{b+c}+1.\sqrt{c+a})^2\leqslant (1^2+1^2+1^2)(a+b+b+c+c+a)=6$
$\Rightarrow \sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\leqslant \sqrt{6}$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$
Cho$a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$
CMR $\mid a+2b+3c\mid \leq \sqrt{14}$
Mọi người thử sức làm câu này nha.
Gợi ý dùng cauchy-shwarz
Sử dụng Cauchy-Schwarzt ta có
$\left | a+2b+3c \right |^2\leqslant (a^2+b^2+c^2)(1^2+2^2+3^2)=14$
$\Rightarrow \left | a+2b+3c \right |\leqslant \sqrt{14}$
Đẳng thức xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} a=\frac{b}{2}=\frac{c}{3}\\a^2+b^2+c^2=1 \end{matrix}\right.$
Mình xin đóng góp:
1/Cho a,b,c$\geq 0$ thỏa mãn $ab+bc+ca> 0$ .CMR:
$\frac{a}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{b}{c^{2}+ca+a^{2}}+\frac{c}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq \frac{a+b+c}{ab+bc+ca}$
2/cho a,b,c $\geq 0$ .CMR:
a)$\left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \right )^{2}\geq (a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$
b)$(a^2+3)(b^2+3)(c^2+3)\geq 4(a+b+c+1)^2$
c)$4(a^2+x^2)(b^2+y^2)(c^2+z^2)\geq 3(bcx+cay+abz)^2$
d)$2(1+abc)+\sqrt{2(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)}\geq (1+a)(1+b)(1+c)$
e)$\frac{a^3}{b^2}+\frac{b^3}{c^2}+\frac{c^3}{a^2}\geq \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}$
2)
Nguyễn Minh Đức
Lặng Lẽ
THPT Lê Quảng Chí (Hà Tĩnh)
Cho biểu thức S=a^2+b^2+c^2+d^2+ac+bd trong đó ad-bc=1.CMR S$\geqslant$ $\sqrt{}$3
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DucHuyen1604: 20-10-2013 - 19:22
Nguyễn Minh Đức
Lặng Lẽ
THPT Lê Quảng Chí (Hà Tĩnh)
Các bạn giải hộ mình mấy bài này với :
bài 1 :
$\forall x\geqslant 0 $
$Cmr:16x(x-1)^2\leqslant (x+1)^4$$\forall x\geqslant 0 Cmr:16x(x-1)^2\leqslant (x+1)^4$
Bài 2 :
$\forall a,b\geqslant 0$
$Cmr:4\sqrt{ab\left | a-b \right |}\leqslant (a+b)^2$
Bài 3 :
$\forall a,b,c\geqslant 0$
$Cmr:\frac{1}{a^2+bc}+ \frac{1}{b^2+ca}+\frac{1}{c^2+ab} \leq \frac{a+b+c}{2abc}$
Bài 4 :
$\forall a\geqslant 1$
$Cmr: \sqrt{a-1}\leqslant \frac{a}{2}$
Bài 5:
$\forall a,b\geqslant 0$
$Cmr:(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2\geqslant 64ab(a+b)^2$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangdaikpro: 30-11-2013 - 14:15
Bài 4 :
$\forall a\geqslant 1$
$Cmr: \sqrt{a-1}\leqslant \frac{a}{2}$
Bài 4:
$\sqrt{a-1} \leq \frac{a}{2} \Leftrightarrow \frac{a^{2}}{4} \geq a-1 \: (a \geq 1) \Leftrightarrow a^{2} \geq 4a-4 \Leftrightarrow a^{2}-4a+4 \geq 0 \Leftrightarrow (a-2)^{2} \geq 0$
luôn đúng.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi rohupt: 05-12-2013 - 23:39
"Sông Nghi, đàn Vũ ta về,
Núi Côn, ta đến cận kề người xưa
Nhà tranh một mái che mưa
Mượn nghề cày cuốc sớm trưa ta làm
Rượu đào nâng chén rót tràn,
Vui say, một khúc sáo đàn ngâm nga..."
Thi-tân
Cách khác: $\sqrt{a-1} \leq \frac{a}{2} \Leftrightarrow 0 \leq \frac{a-1-2\sqrt{a-1}+1}{2} \Leftrightarrow 0 \leq \frac{(\sqrt{a-1}-1)^{2}}{2} \,\:\; Q.E.D.$
"Sông Nghi, đàn Vũ ta về,
Núi Côn, ta đến cận kề người xưa
Nhà tranh một mái che mưa
Mượn nghề cày cuốc sớm trưa ta làm
Rượu đào nâng chén rót tràn,
Vui say, một khúc sáo đàn ngâm nga..."
Thi-tân
Bài 5:
$\forall a,b\geqslant 0$
$Cmr:(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2\geqslant 64ab(a+b)^2$
Bài 5 sai đề rồi bạn. Thử a=b=1 vào thấy vế trái nhỏ hơn hẳn vế phải.
"Sông Nghi, đàn Vũ ta về,
Núi Côn, ta đến cận kề người xưa
Nhà tranh một mái che mưa
Mượn nghề cày cuốc sớm trưa ta làm
Rượu đào nâng chén rót tràn,
Vui say, một khúc sáo đàn ngâm nga..."
Thi-tân
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh