Chủ đề này có 10 trả lời

[Mr Stoke]

Các bạn thân mến, thông thường tôi không có thói quen đi hỏi người khác trong mỗi dịp vào mạng. Không phải là tôi không có gì để hỏi mà đơn giản là tôi đã làm quá nhiều điều này trong công việc

Vâng, tiêu đề của topic này đã nói rõ. Các bạn biết rằng đi luyện thi không phải là một chuyện dễ như húp...cháo. Có một lần như thế tôi liều lĩnh đưa ra một bài tóan mà ngay từ đầu tôi tin rằng có thể ngó , ngoáy vài cái là ra. Bài toán đó như sau:

Bài toán: Hãy xác định tất cả các cặp số nguyên dương http://dientuvietnam...imetex.cgi?(a,b) thỏa mãn http://dientuvietnam...5a^2 2a=6b^2 2b

Bài này tôi đưa cho các bạn THCS làm và hệ quả là cả hai đều tắc! Tôi có hai câu hỏi dành cho các bạn ở Forum diendantoanhoc và xin hứa sẽ tặng cho bất cứ bạn nào một cuốn sách nếu như bạn giải quyết được trọn vẹn hai câu hỏi sau đây của tôi:

1) Đưa ra một lời giải trong chương trình TOÁN PTTH
2) Đưa ra một lời giải trong chương trình TOÁN PTCS

Quả thực tôi không biết liệu bài tóan nói trên dễ hay khó nhưng tôi tin các bạn sẽ làm được.

Cuốn sách mà tôi định tặng các bạn đó là cuốn :"IN POLYA FOOTSTEP " rất nổi tiếng (bản phô tô thôi)

Các bạn có thể giải bài trực tiếp trên topic này hoặc soạn tin nhắn rồi gửi đến Mr Stoke.

Chân thành cám ơn các bạn và chúc các bạn may mắn

MR STOKE

Ps: Tuy thế tôi sẽ xem mức độ lời giải của các bạn. Nếu các bạn làm được 1 trong hai yêu cầu nói trên mà quả thực bài tóan này khó. Tôi cũng sẽ trao phần thưởng cho các bạn!

[leoteo]

Cái này nhìn như phương trình Pell thì phải.

[Mr Stoke]

Thì nó là pt bậc hai mà. Leteo làm được 50% câu 1 rồi, cố lên anh em!

[K09]

Anh Hưng à. Thực ra bài toán này ranh giới giữa toán THPT và THCS cũng không lớn lắm. Em sẽ giải nó và nói rõ trong TH nào thể hiện sự phân biệt giữa toán THPT và THCS.

Biến đổi về dạng

http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(a-b)(5a+5b+2)=b^2.
Đặt http://dientuvietnam...CLN(a-b,5a 5b 2) khi đó thì http://dientuvietnam...imetex.cgi?d|2.
Vậy d=1 hoặc 2.

1\ Nếu d=1 thì http://dientuvietnam...imetex.cgi?(c-d)(5c+5d+1)=d^2 từ đây thì
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?5y^2+1=6x^2
Thật vậy (u,v)----->(x=u+v,y=v)

Do đó bài toán qui hết về giải phương trình sau http://dientuvietnam...cgi?6x^2-5y^2=1 (2)

Đến đây nói chung là có các cách sau:

1\ Chú ý nghiệm nhỏ nhất là (1,1) bởi vậy chứng minh như PT PELL ( trong quyển sách Bài Giảng Số Học )
Ta có tập nghiệm của (2) xác định như sau (x_n,y_n) với
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x_n\sqrt{6}+y_n\sqrt{5}=(\sqrt{6}+sqrt{5})^{2n+1}
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x_n\sqrt{6}-y_n\sqrt{5}=(\sqrt{6}-sqrt{5})^{2n+1}
từ đây ta dễ dàng rút ra hệ thức truy hồi.

Chứng minh này học sinh THCS cũng hiểu được .

2\ Cách 2 là làm theo một loạt kiểu bài toán tương tụ khi sử dụng các liệu pháp truy hồi ( phương pháp xuống thang dần dần )

ta được các số hạng


Em nghĩ là làm như thế. Không biết anh Hưng thấy thế nào

[Mr Stoke]

Đường lối em đi đúng rồi đấy, tất nhiên chỉ còn thiếu một tẹo là chỉ lấy các . Thực tế nếu để ý kĩ em sẽ thấy là leoteo cũng đã dẫn đến cái tương tự như em . Thanks em

[K09]

Đâu mà anh đây đâu phả i là nghiệm mà chỉ là hệ quả của nghiệm thôi. Trong cách giải của em không hề có gì dính dáng đến số dư cho 5 cả mà.
Phương trình 2 giúp ta tìm được u, v còn từ đây ta dễ dàng tìm được a, b
RÕ ràng bước làm này giảm rắc rối cho bài toán nhiều mà.

[Mr Stoke]

Đâu mà anh  đây đâu phả i là nghiệm mà chỉ là hệ quả của nghiệm thôi. Trong cách giải của em không hề có gì dính dáng đến số dư cho 5 cả mà.

ở đây nè em http://dientuvietnam...cgi?5c 5d 1=v^2

RÕ ràng bước làm này giảm rắc rối cho bài toán nhiều mà.

Không đâu em bởi vì dãy nguyên lấy theo modulo 5,6 thì chỉ cần kiểm tra trên dãy 5 đến 6 số hạng liên tiếp của dãy, sau đó các số dư sẽ ... tuần hoàn

[dhkhtn-tnt]

Em cũng đưa về PT:http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?6x^2-5y^2=1
Đến đây thì đặt http://dientuvietnam...i?x=u 5v,y=u 6v thì đưa về http://dientuvietnam...cgi?u^2-30v^2=1
suy ra ct truy hồi:http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?u0=1,u1=11,u_{n+2}=22u_{n+1}-u_n
http://dientuvietnam...mimetex.cgi?u_n
@K09:có lẽ bạn quên rằng:http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?v^2=5c+5d+1
Edit:Xin lỗi vi em chưa đọc mấy dòng của anh Mr Stoke

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dhkhtn-tnt: 22-01-2006 - 15:11

[K09]

Em đã nói rồi chẳng liên quan gì cả.
Này nhé
Nếu x,y là nghiệm nguyên dương của phương trình 6x^2-5y^2=1
Khi đó u và v xác định như sau v=x và u=y-x
Từ đây ta xác định được c và d và a=2c; b=2d
Có gì liên quan đâu. Bởi vì điều kiện nó bao hàm rồi.
Mọi người xem kĩ lại xem nha.

[vietnamesegauss89]

đáp số là n chẵn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietnamesegauss89: 24-01-2006 - 19:16

[K09]

Quên mất anh Stoke ơi. Thế phần thưởng thì thế nào nhỉ ? Em có thấy mình sai đâu.