Chủ đề này có 5 trả lời

[zaizai]

Cho $a,b,c,d$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$\sqrt{\dfrac{a^2+b^2+c^2+d^2}{4}}\ge \sqrt[3]{\dfrac{abc+bcd+cda+dab}{4}}$

Mấy em THCS thử xem sao nhé, bài này dễ nhưng lời giải khá đẹp

[dtdong91]

bài này hình như dùng chuẩn hóa
$ a^2+b^2+c^2+d^2=4$
CMR $ abc+bcd+dca+dab \le 4$
Cái này thì dễ rồi
CÓ thể dùng dồng bậc hóa hay SD $ f(a,b,c,d) \le f(\sqrt{\dfrac{a^2+c^2}{2}},b,\sqrt{\dfrac{a^2+c^2}{2}},d)$
với a b c d

[zaizai]

my solution only uses AM-GM inequality. I think it is not hard to find out a simpler solution (it means using some classical inequalities) I speak again: it is not new (which apperence in an old book) and easy to prove. I think you should try another way, and the way is really simple for student in hight school. In fact, mixing variable method is nessary in this case. You should solve it again with AM-GM inequality. It is good to see your solution as soon as. I hope that you will complete it early. Sorry everybody, I am studying English and I must to practice English anywhere... However, I cannot type Vietnamese quickly Another reason why I type by English I want to you will check my grammar. Maybe, I will make mistake in typing
_____________________________________________________
ilove: Thể theo nguyện vọng của bạn zaizai, ilove xin chỉ ra mấy lỗi mà ilove nhìn thấy nha (bạn zaizai sửa xong thì xóa cái đọan này đi luôn)
1,appernce (line 2) : appear
2,hight school (line 3) : high school
3,nessary (line 4): necessary
4,as soon as (line 4): as soon as posible (or stuff like that)
5,must to (line 5) : must
6,however (line 6) : this conjunction is used in contrary. I suggest using "furthermore" and " In addition" in this case.
7,by (line 6): in
8,....why I type by English I want....... (line 6) : ,....why I type by English is (that)I want....
9,....I want to you will check..... (line 6): .....I want you to check.... (however, it's not really polite)
10, will make (line 7): made

Dạo này ilove cũng mới học tiếng Anh nên chỉ chỉ ra sơ sơ đc mấy lỗi đó thôi ( còn một số chỗ zaizai dùng từ không phù hợp lắm như không thể gọi là lỗi đc). Tuy nhiên, theo ý kiến chủ quan của mình, bạn chỉ nên viết bài bằng tiếng Anh trong box Olympiad thôi để các em THCS dễ theo dõi (đâu phải ai cũng học tiếng Anh nhỉ ?)

Thân

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ilovemoney_hic: 28-07-2007 - 12:25

[dtdong91]

AM-GM cũng có thể được
Mấy cái này mình nhường cho các em cấp 2 ko thành ra 11 rồi còn đi làm mấy bài cấp 2 ngượng lắm ( mấy bài trên chỉ để spam +tham khảo thui

[10maths_tp0609]

Cho $a,b,c,d$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$\sqrt{\dfrac{a^2+b^2+c^2+d^2}{4}}\ge \sqrt[3]{\dfrac{abc+bcd+cda+dab}{4}}$

Mấy em THCS thử xem sao nhé, bài này dễ nhưng lời giải khá đẹp

Vắng khachss quá thôi để 10maths spam cho.
$a^2+b^2+c^2+d^2 \ge \dfrac{(a+b+c+d)^2}{4}$
$abc+bcd+cda+dab \le \dfrac{(a+b+c+d)^3}{16}$
Đến đây chắc xong nhỉ!

Không biết bài này có đúng ko, dạo này lười ngại làm bài quá!

$\sqrt{\dfrac{ab+bc+cd+da}{4}}\ge \sqrt[3]{\dfrac{abc+bcd+cda+dab}{4}}$

(10maths nhớ đề gốc của nó là thế này)

P/S:
Solution.
Ta có:
$abc+bcd+cda+dab=ac(b+d)+bd(c+a) \le \sqrt{ac}\dfrac{(a+c)(b+d)}{2}+\sqrt{bd}\dfrac{(a+c)(b+d)}{2}=(sqrt{ac}+\sqrt{bd})\dfrac{(a+c)(b+d)}{2}$
$ab+bc+cd+da=(a+c)(b+d)$
Thay vào bđt ta cần chứng minh:
$\sqrt{\dfrac{(a+c)(b+d)}{4}} \ge \sqrt[3]{\dfrac{(a+c)(b+d)(\sqrt{ac}+\sqrt{bd})}{8}} \Leftrightarrow (a+c)(b+d) \ge (\sqrt{ac}+\sqrt{bd})^2$
Cái này hiển nhiên theo bdt Cauchy-Schwarz.
Done.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 10maths_tp0609: 26-07-2007 - 15:25

[10maths_tp0609]

Thêm một bài tương tự:
Cho $a,b,c \ge 0$. CMR : $ \sqrt[3]{\dfrac{abc+abd+bcd+acd}{4}}\leq \sqrt{\dfrac{ab+ac+ad+bc+bd+cd}{6} } $

Ta có:
$abc+bcd+cda+dab =ac(b+d)+bd(a+c) \le \dfrac{(\sqrt{ac}+\sqrt{bd})(a+c)(b+d)}{2}$
$ab+bc+cd+da=\dfrac{(a+c)(b+d)}{2}+\dfrac{(a+c)(b+d)}{2}+(ac+bd) \ge 3\sqrt[3]{\dfrac{(a+c)^2(b+d)^2(ac+bd)}{4}}$
Thay vào bđt ta cần chứng minh:
$\sqrt[3]{\dfrac{(a+c)(b+d)(\sqrt{ac}+\sqrt{bd})}{8}} \le \sqrt{\dfrac{1}{2}\sqrt[3]{\dfrac{(a+c)^2(b+d)^2(ac+bd)}{4}}}$
$\Leftrightarrow (\sqrt{ac}+\sqrt{bd})^2 \le 2(ac+bd)$
Điều này hiển nhiên theo bđt Cauchy-Schwarz.
DONE.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 10maths_tp0609: 26-07-2007 - 19:12