Chủ đề này có 2 trả lời

[vietkhoa]

Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chuyển số 5 đứng cuối cùng lên đầu tiên thì được một số mới; thương của phép chia giữa số mới và số ban đầu là 2; dư 1229.
Mong mọi người có thật nhiều cách giải cho bài toán này.

[pnt]

Gọi số đã cho là A5
Số được tạo thành từ A do chuyển chữ số 5 lên đầu là 5A
Theo đề bài:
Lấy 5A đem chia cho A5 thì được thương là 2, dư là 1229. Cho nên:
5A=2.A5+1229
Gọi n là số chữ số của A thì:
$5.10^n+A=2(10.A+5)+1229$
$5.10^n-1239=19.A$

$A=\dfrac{5.10^n-1239}{19}$
Vì A là số nguyên nên ta phải có 5.10^n-1239 chia hết cho 19
Vì $10^{18}$ chia 19 dư 1 nên số dư(phụ thuộc vào n) của phép chia trên tuần hoàn theo chu kỳ 18.
Do đó tập hợp tất cả các số dư trên khi n chạy khắp $N*$ chính là tập các số dư khi n chạy từ 0 đến 17
Ta có thể tìm tập các số dư này bằng cách sử dụng phần mềm Mathematica 5.2 như sau:
In[1]:=
For[
i=0,
i<=17,
Print["n= ",n,": ",Mod[5.10^n-1239,19]];
n++
]

n=0: 1
n=1: 8
n=2: 2
n=3: 18
n=4: 7
n=5: 11
n=6: 13
n=7: 14
n=8: 5
n=9: 10
n=10: 3
n=11: 9
n=12: 12
n=13: 4
n=14: 0
n=15: 17
n=16: 16
n=17: 6

Do đó, để cho 5.10^n-1229 chia hết cho 19 thì n phải chia 18 dư 14
Để A5 nhỏ nhất thì số chữ số của A cần phải ít nhất, đó là khi n=14
Tính A như sau
In[2]:=(5.10^14-1239)/19
Out[2]=26315789473619
Vạy số nhỏ nhất cần tìm là: 263157894736195

[vietkhoa]

Cách này có vẻ khủng bố quá, với lại nếu đây là một bài kiếm tra ở lớp thì lấy đâu ra cái phần mềm Mathematica đó nhỉ? Thay vào đó ta chỉ cần chịu khó biến đổi toán học một chút và sử dụng một chiếc FX-500MS quen thuộc là OK.
Theo cách của pnt ta có thể tiếp tục biến đổi để thu được:
$5.10^n \equiv 4 (mod 19) \Rightarrow 10^n \equiv 16 (mod 19) \Rightarrow 10^{\dfrac{n}{2}} \equiv 4 (mod 19)$
Ta thấy $\dfrac{n}{2}$ nhỏ nhất thỏa mãn là 7 nên n nhỏ nhất thỏa mãn là 14. Kết quả thu được đúng như đáp số của pnt

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietkhoa: 16-08-2007 - 12:54