Chủ đề này có 16 trả lời

[vominhkhoi123]

MInh hoc doi tuyen Toan o truong,sau day co vai bai minh ko biet cach giai xin cac ban chi dap de minh con rut kinh nghiem,Cam on nhieu.!
Chung minh cac bat dang thuc sau voi a,b,c>0
1) $\dfrac{1}{ab + 1} + \dfrac{1}{bc + 1} + \dfrac{1}{ca + 1} \geq \dfrac{3}{2} $
2)$\dfrac{a^2}{b+c} + \dfrac{b^2}{c+a} +\dfrac{c^2}{a+b} \geq \dfrac{a+b+c}{2} $
3)$\dfrac{a^3}{a^2+a \sem b+b^2} + \dfrac{b^3}{b^2+b \sem c+c^2} +\dfrac{c^3}{c^2+c \sem a+a^2} \geq \dfrac{a+b+c}{3} $
4)$\dfrac{a^3}{b+c}+\dfrac{b^3}{c+a}+\dfrac{c^3}{a+b} \geq \dfrac{1}{2}$
5)$ \dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b} \geq \dfrac{\sqrt{3}}{2} $
6)$\dfrac{a^8+b^8+c^8}{a^3 \sem b^3 \sem c^3} \geq \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$
7)$\dfrac{1}{1+a^2}+\dfrac{1}{1+b^2}+\dfrac{1}{1+c^2}\geq \dfrac{3}{1+a \sem b \sem c}$ voi $a \geq 1 ; b \geq 1 ; c \geq 1$
8)$\dfrac{a}{a+b+c}+\dfrac{b}{b+c+d}+\dfrac{c}{c+d+a}+\dfrac{d}{d+a+b} < 2$
9)$\dfrac{a^2}{b^5}+\dfrac{b^2}{c^5}+\dfrac{c^2}{d^5}+\dfrac{d^2}{a^5} \geq \dfrac{1}{a^3}+\dfrac{1}{b^3}+\dfrac{1}{c^3}+\dfrac{1}{d^3}$
10) $\dfrac{1}{a \sem b}+\dfrac{1}{a^2+b^2} \geq 6$ voi $a,b>0;a+b=1$
11)$(a+\dfrac{1}{b})^2 + (b+ \dfrac{1}{a})^2 \geq \dfrac{25}{2}$ voi $a,b>0; a+b=1$
12)$\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{1}{a \sem b}+\dfrac{1}{b \sem c}+\dfrac{1}{c \sem a} \geq 30$ voi $a,b,c>0;a+b+c=1$

Em se cap nhat them!.
P/S:chi dung cac bat dang thuc trong chuong trinh trung hoc co so vd:cauchy,BCS,...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vominhkhoi123: 05-09-2007 - 17:39

[sp_zero]

ở đây điều kiện abc là gì vậy bạn, nếu không có điều kiện gì thêm thì có mấy câu đề sai đấy, ví dụ như câu 5 , chọn a=b=c càcg nhỏ thì bđt sai toét

[vominhkhoi123]

ở đây điều kiện abc là gì vậy bạn, nếu không có điều kiện gì thêm thì có mấy câu đề sai đấy, ví dụ như câu 5 , chọn a=b=c càcg nhỏ thì bđt sai toét

da chinh sua

[quangghePT1]

da chinh sua

Câu 1 cũng sai đó bạn , ab càng lớn thì càng ...sai

[trung_phuong]

BDT 1 không đúng nếu chưa chỉ rõ quan hệ của các biến a,b,c
Lời giải BDT 2 (BDT này xuất hiện khá nhiều trong các sách BDT)
Sử dụng BDT Bunyacovsky-Cauchy-Schwarz
$ \dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}+\dfrac{c^2}{z} \geq \dfrac{(a+b+c)^2}{(x+y+z)}$ với x,y,z>0 ,a,b,c tùy ý .
trực tiếp vào vế trái BDT cần c/m ta thu được dpcm

Lời giải cho BDT 3
Sử dụng hằng đẳng thức
$ 0=(a-b)+(b-c)+(c-a) $ suy ra
$ 0=\sum\dfrac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}$ (a,b,c>0)
từ đó
$ 2.VT=\sum\dfrac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}$
$2.(VT-VP)=\sum\dfrac{2(a+b)}{3(a^2+ab+b^2)}(a-b)^2 \geq 0$
suy ra dpcm
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$

BDT 4,5 cũng không đúng .
Lời giải BDT 8
Nhận xét :Với 2 số dương x,y thỏa mãn $\dfrac{x}{y} <1$ thì
ta có BDT sau $\dfrac{x}{y} < \dfrac{x+z}{y+z} (z>0)$
Sử dụng nhận xét trên
$\dfrac{a}{a+b+c} < \dfrac{a+d}{a+b+c+d}$
Thiết lập các BDT tương tự rồi cộng các BDT đó ,vế theo vế suy ra dpcm

Lời giải BDT 9
Sử dụng BDT Trung bình cộng-Trung bình nhân cho 5 số dương ta có
$3.\dfrac{a^2}{b^5}+2. \dfrac {1}{a^3}=\dfrac{a^2}{b^5}+\dfrac{a^2}{b^5}+\dfrac{a^2}{b^5}+\dfrac{1}{a^3}+\dfrac{1}{a^3} \geq 5.\dfrac{1}{b^3}$
Thiết lập các BDT tương tự trên ,rồi cộng theo từng vế các BDT đó suy ra dpcm
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trung_phuong: 05-09-2007 - 20:59

[119]

BĐT 5 cần thêm ĐK $a^2+b^2+c^2=1$ rồi áp dụng cauchy-Swarz là ổn

[trung_phuong]

Lời giải BDT 10
Ta đặt $ ab=P $
Khi đó ta cần c/m
$\dfrac{1}{1-2.P}+\dfrac{1}{P} \geq 6$
Quy đồng rút gọn thu được (BDT tương đương)
$\dfrac{1-P}{P(1-2.P)} \geq 6$ với $ \dfrac{1}{4}=\dfrac{(a+b)^2}{4} \geq ab$
tương đương $12.P^2-7.P+1 \geq 0$
hay $ (P-\dfrac{1}{3})(P-\dfrac{1}{4})\geq 0 $
BDT này đúng vì ab<=1/4

[119]

BĐT 12: Svac
$VT \ge \dfrac{(1+3.\sqrt{2})^2}{(a+b+c)^2}=27.48528137$

Xét xem dấu bằng có xảy ra ko ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 119: 05-09-2007 - 22:26

[trung_phuong]

Sử dụng BDT 2 với giả thiết $a^2+b^2+c^2=1$
suy ra BDT 5

[119]

11)[

Áp dụng cauchy có
$VT \ge 2(a+\dfrac{1}{b})(b+\dfrac{1}{a})=2(ab+1+1+\dfrac{1}{ab})\ge VP$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 119: 06-09-2007 - 11:00

[trung_phuong]

BĐT 12: Svac
$VT \ge \dfrac{(1+3.\sqrt{2})^2}{(a+b+c)^2}=27.48528137$

Xét xem dấu bằng có xảy ra ko ?

BDT 12
Sử dụng BDT Schwarz
$\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}+3.\dfrac{1}{3.ab}+3.\dfrac{1}{3.bc}+3.\dfrac{1}{3.ca} \geq \dfrac{100}{(a+b+c)^2+7.(ab+bc+ca)}\geq\dfrac{100}{(a+b+c)^2+\dfrac{7}{3.(a+b+c)^2}$
Sử dụng giả thiết $a+b+c=1$ suy ra dpcm
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=\dfrac{1}{3}$

BDT 7
Bổ đề:Với a,b là 2 số $\geq 1$ta có BDT
$\dfrac{1}{1+a^2}+\dfrac{1}{1+b^2}\geq\dfrac{2}{1+ab}$
Đẳng thức xảy ra ,nếu và chỉ nếu $a=b=1$
CM:BDT trên tương đương với
$(\dfrac{1}{1+a^2}-\dfrac{1}{1+ab})+(\dfrac{1}{1+b^2}-\dfrac{1}{1+ab})\geq 0$
hay$\dfrac{ab-1}{ab+1}.(a-b)^2 \geq 0$
(BDT này đúng với $a,b\geq 1)$
Quay trở lại BDT 7
Sử dụng bổ đề trên suy ra
$VT\geq \dfrac{2}{1+ab}+\dfrac{1}{1+c^2}\geq \dfrac{1}{1+ab}+\dfrac{1}{1+a^2.b^2}+\dfrac{1}{1+c^2}\geq\dfrac{1}{1+abc}+(\dfrac{1}{1+a^2.b^2}+\dfrac{1}{1+c^2})$ ($ab,c\geq 1)$
Sử dụng bổ đề cho $ab,c\geq 1$ suy ra dpcm.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$

[119]

Với BĐT 11 thì nó là thế này <cũng AM-GM>


Ta cần CM $a^2+b^2+\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{2a}{b}+$$ \dfrac{2b}{a} $$ \geq \dfrac{25}{2}$
By AM-GM we have:D
$\dfrac{2a}{b}+\dfrac{2b}{a} \geq 4$
$a^2+b^2 \geq \dfrac{(a+b)^2}{2}=\dfrac{1}{2}$
$\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2} \geq \dfrac{2}{ab} \geq \dfrac{2}{(\dfrac{a+b}{2})^2}=\dfrac{2}{\dfrac{1}{4}}=8$
Cộng vế theo vế 3 BDT trên ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra <=>$a=b=\dfrac{1}{2}$

bài này bên 3t hình như cũng có -chienthan

[hoang tuan anh]

với bài 11 bạn làm như vậy thì ko thể làm cho bài tổng quát được , cách hay nhất là Svac sau đó dùng AM-GM cộng mẫu số
các bài bạn vominhkhoi đưa ra chủ yếu chỉ cần biết pp chọn điểm rơi <cân bằng hệ số> và mấy pp Am-GM đồng bậc , khử mẫu là giải quyết hết

[119]

Mình còn 1 cách nữa với bài toán này <ko áp dụng với tổng quát
Ta có $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = 2 + \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} \geq 4$ (vì $a,b$ dương)
Do đó $(a + \dfrac{1}{a} )^2 + (b + \dfrac{1}{b} )^2 \geq \dfrac{1}{2}(a + b + \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} )^2 \geq \dfrac{1}{2}(1 + 4)^2 = \dfrac{25}{2}$ (đpcm)

Tiện đây cho các bạn 4 BĐT số học
1>CM với mọi số nguyên dương $n$ ta có $\dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{13} + \dfrac{1}{25}+...+ \dfrac{1}{n^2 + (n + 1)^2} < \dfrac{1}{2}$ hoặc $< \dfrac{9}{20}$. Liệu có thể làm cho BĐT này mạnh hơn không? <unsolve in 3T>
2>Ba`i toa'n : Ba'n ti'nh ba'n nghi :

Cho k la` số tự nhiên. Ky' hiệu g(k) la` ước số lẻ lớn nhất của k. Chứng minh rằng $\forall n\in N$, ta c� BDT k�p sau:
$0<\sum^n_{k=1}\dfrac{g(k)}{k}-\dfrac{2n}{3}<\dfrac{2}{3}$ <solved>

3>$ (n+1)^{n^k}-1 \vdots n^{k+1} $ <solved -2cách>
4> http://diendantoanho...?...c=33798&hl=

[apollo_1994]

Bài 1
Ta có $\dfrac{1}{k^2+(k+1)^2} <\dfrac{1}{2k^2+2k+1}<\dfrac{1}{2k(k+1)}$
Do đó $VT< \dfrac{1}{2}. (1-\dfrac{1}{n+1} )< \dfrac{1}{2} $
Càng bắt đầu làm trội lùi về các p/số sau thì BDT cang mạnh

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nqhung_9_5_1994: 07-09-2007 - 09:37

[vietkhoa]

6)$\dfrac{a^8+b^8+c^8}{a^3 \sem b^3 \sem c^3} \geq \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$
7) $\dfrac{1}{1+a^2}+\dfrac{1}{1+b^2}+\dfrac{1}{1+c^2}\geq \dfrac{3}{1+a \sem b \sem c}$ voi $a \geq 1 ; b \geq 1 ; c \geq 1$

Câu 6 chắc dễ quá nên không thấy ai làm. Chỉ cần áp dụng liên tiếp bđt $x^2+y^2+z^2 \geq xy+yz+zx$ cho tử là được. Còn câu 7 thì mình nghĩ là phải như thế này:
$\dfrac{1}{1+a^3}+\dfrac{1}{1+b^3}+\dfrac{1}{1+c^3} \geq \dfrac{3}{1+abc}$ $a \geq 1 ; b \geq 1 ; c \geq 1$. Cách giải vẫn áp dụng theo bổ đề trung_phuong đã đưa ra.

[vominhkhoi123]

Kham phuc cac bac' wa'.Em se chiu kho post them vai` chuc bai nua~~~