Chủ đề này có 16 trả lời

[tuan101293]

Giúp em với
Với $ 0<a,b,c \leq1$
CMR

$ \dfrac{1}{1+a+b}+ \dfrac{1}{1+b+c}+ \dfrac{1}{1+c+a} \leq \dfrac{3}{1+ 2\sqrt[3]{abc} } $


CẢM ƠN MỌI NGƯỜI NHIỀU

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ilovemoney_hic: 06-02-2008 - 12:43

[tuan101293]

Đố mọi người một bài khởi động.(em post ở topic bên dưới mà ko ai trả lời)
Bài này cũng dễ thôi(em đọc giải)
a,b,c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện

$ \dfrac{a}{1+a}+ \dfrac{2b}{1+b}+ \dfrac{3}{1+c}=1 $

CMR:$a b^{2} c^{3} $
______________________________________
Anh đoán bài này em chép sai đề CHứng minh cái gì mới được cơ chứ ?
Thế này chắc là đúng:
$ \dfrac{a}{1+a}+ \dfrac{2b}{1+b}+ \dfrac{3c}{1+c}=1 $

CMR:$a b^{2} c^{3} \leq \dfrac{1}{5^6} $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ilovemoney_hic: 06-02-2008 - 12:49

[phandung]

Chuyển về rùi cauchy là ra

[tuan101293]

Chuyển về rùi cauchy là ra

Ý anh bảo bài trên hay bài dưới.Nếu là bài dưới thì đúng rồi,còn nếu là bài trên thì anh chỉ cho em.Cảm ơn anh nhiều.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuan101293: 21-01-2008 - 21:44

[tuan101293]

Sao không ai chịu chữa cho em bài này?Chả lẽ trong 133 người vào xem không ai giải được sao?
CỐ LÊN VIỆT NAM,EM TIN MỌI NGƯỜI SẼ LÀM ĐƯỢC.

[nguyen_dung]

Ặc , cổ vũ ghê quá . Chú nói làm tôi cũng nóng máu , nhưng đang ở trên phòng lab của trường , kô có đk suy nghĩ , về nhà suy nghĩ rồi post trả lời cho chú , hẹn tối đa 3,4 ngày gì đó trả lời cho .

[hoang tuan anh]

$c=max{a,b,c}$
dồn biến $f(c,a,b) \leq f(c,\sqrt{ab},\sqrt{ab})$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoang tuan anh: 31-01-2008 - 22:56

[tuan101293]

$c=max{a,b,c}$
dồn biến $f(c,a,b) \leq f(c,\sqrt{ab},\sqrt{ab})$

Bạn giải chi tiết có được không.Mình cảm ơn trước

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoang tuan anh: 31-01-2008 - 22:57

[vd_tan]

Đây là dành cho THCS, sao lại có dồn biến ở đây bạn nguyen_dung
Có thể dùng kĩ thuật chọn điểm rơi

[tuan101293]

Đây là dành cho THCS, sao lại có dồn biến ở đây bạn nguyen_dung
Có thể dùng kĩ thuật chọn điểm rơi

Anh vd_tan định chọn điểm rơi như thế nào?
CẢM ƠN ANH và HTA nhiều!

[zaizai]

Bài trên trong topic ở box Olympiad và chắc nó cũng ko dễ (anh chưa thử nhưng bài 3 biến chắc ko quá khó còn bài 5 biến thì cũng ko đơn giản đâu ). Chú HTA có lời giải rồi thì post lên xem nào.

[zaizai]

Giúp em với
Với 0<a,b,c<=1
CMR

$ \dfrac{1}{1+a+b}+ \dfrac{1}{1+b+c}+ \dfrac{1}{1+c+a} \leq \dfrac{3}{1+ 2\sqrt[3]{abc} } $
CẢM ƠN MỌI NGƯỜI NHIỀU

Ngồi chơi tết chả biết làm gì thôi thì thử giải bài này xem sao
Trước tiên đặt:

$f(a,b,c)= \dfrac{3}{1+ 2\sqrt[3]{abc} } -\dfrac{1}{1+a+b}- \dfrac{1}{1+b+c}- \dfrac{1}{1+c+a} $

Khi đó ta có:

$f(a,\sqrt{bc},\sqrt{bc})=\dfrac{3}{1+ 2\sqrt[3]{abc} }-\dfrac{2}{1+a+\sqrt{bc}}- \dfrac{1}{1+2\sqrt{bc}}$

Không mất tính tổng quát giả sử $a=max(a,b,c)$. Khi đó:

$f(a,b,c)-f(a,\sqrt{bc},\sqrt{bc})=\left(\dfrac{2}{1+a+\sqrt{bc}}-\dfrac{1}{1+a+b}- \dfrac{1}{1+c+a}\right)+ \left(\dfrac{1}{1+2\sqrt{bc}}-\dfrac{1}{1+b+c}\right)\ge 0$

$ \Leftrightarrow (\sqrt{b}-\sqrt{c})^2\left[\dfrac{a-\sqrt{bc}+1}{(1+a+\sqrt{bc})(1+c+a)(1+b+a)}+\dfrac{1}{(1+2\sqrt{bc})(1+b+c)}\right]\ge 0$

Bây giờ ta chỉ việc giải bài toán 2 biến là:

$\dfrac{3}{1+ 2\sqrt[3]{xy^2} }-\dfrac{2}{1+x+y}- \dfrac{1}{1+2y}\ge 0$

Đến đây còn phức tạp vì mấy cái căn. Thôi đặt thêm phát nữa Đặt $x=m^3,y=n^3$ khi đó ta cần chứng minh:

$\dfrac{3}{1+ 2mn^2 }-\dfrac{2}{1+m^3+n^3}- \dfrac{1}{1+2n^3}\ge 0$

$\Leftrightarrow \dfrac{2(m-n)^2(3n^4-m^2n^2+mn^3+m+2n)}{(m^3+n^3+1)(2mn^2+1)(2n^3+1)}\ge 0$

Phần còn lại dễ rồi, chú ý cái điều kiện...các em tự làm nhá

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi zaizai: 02-02-2008 - 14:41

[hoang tuan anh]

để anh zaizai phải post lời giải mà em ko post thì ngại quá , bài 5 biến em cũng đã đọc qua rồi nhưng với cách giải bài 3 biến của em thì ko ăn thua
nói chung cách em cũng giống y cách anh , vì cùng tư tưởng dồn biến , nhưng em sử dụng cái bổ đề này nhìn gọn mắt hơn
với $x \geq ab$ thì
$\dfrac{1}{x+a}+\dfrac{1}{x+b} \leq \dfrac{2}{x+\sqrt{ab}}$
ngoài dồn biến ra thì vẫn chưa tìm đc cách cổ điện nào chấp nhận đc

[zaizai]

mấy biến có quan trọng gì đâu nhỉ... à có tính toán nhiều hơn 1 tí thôi. Nói chung ko thể gọi bài này là khó đc nhỉ ai rảnh thì post lời giải bài 5 biến thử coi. Anh nghĩ chỉ là vấn đề thời gian và công sức tính toán thôi ngại thì dùng thêm SMV cho nó nhẹ nợ

[kathmetallica]

Mình nghĩ thế này,các bạn xem có sai ko nhé,hic...
Tồn tại số $\ k$ sao cho $\ k^3abc=1$ và $\ k\geq 1$
Đặt:
$\ ka=x$
$\ kb=y$
$\ kc=z$
Suy ra:$\ xyz=1$
Cho dễ nhìn,đặt:
$\ x=m^3$
$\ y=n^3$
$\ z=p^3$
Vậy,ta lại có:$\ mnp=1$
BDT cần chứng minh tương đương với:
$\sum_{cyc}\dfrac{1}{m^3+n^3+kmnp}\leq \dfrac{3}{k+2}$
hay:
$\sum_{cyc}\dfrac{m+n}{m+n+kp}\geq \dfrac{6}{k+2}$
Áp dụng bdt Cauchy-Schwarz,ta có:
$\ VT\geq \dfrac{2(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2+(k-1)(xy+yz+zx)}\geq \dfrac{6}{k+2}$(Chú ý điều kiện *)
Suy ra đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kathmetallica: 03-02-2008 - 08:45

[chicken_run]

bài này em nhớ có ở trong cuốn "Sáng tạo BĐT" mà
hm bữa nới đọc chắc ko wên đâu

[vo thanh van]

Có lẽ bài 5 biến đến bây giờ cũng là unsolve,nhưng việc dùng SMV có lẽ là hơi mạnh,hi vọng sẽ có lời giải cho bài TQ