Chủ đề này có 1 trả lời

[FOOL90]

Cho $(m,n)=1$ ;
Chứng minh rằng với mọi $a$ bất kì , tồn tại $t$ nguyên dương sao cho $(m+tn,a)=1$

Giải
Bổ đề.
a) $(a+i.c,c)=(a,c) \forall a,i,c \in \mathbb{Z}$ .hiển nhiên .
b) Nếu $ (a,c) =1 \Rightarrow (a,c^i) =1 \forall a,c \in \mathbb{Z}; i \in Z^+$ .hiển nhiên .
c)Với mọi $p$ nguyên tố ,tồn tại $t \in Z^+ $sao cho : $(m+tn, p)=1$
$CM.c.$
Giả sử $(m+in,p) \neq 1 \forall i =\bar{1;p}$
Xét $p$ số $m+n ; m+2n;......;m+pn$
nếu $\no \exist i | m+in \equiv 1 (mod p) \Rightarrow \exist i,j | m+in \equiv m+jn (mod p)$
$\Rightarrow (i-j).n \vdots p \Rightarrow n \vdots p$ ( vì $0<|i-j| < p , p$ nguyên tố ) (1)
Lại có $(m+pn,p) \neq 1 \Rightarrow (m,p) \neq 1$ ( vì $(m+pn,p)=(m,p)$ )
$\Rightarrow m \vdots p$ (2)
Từ (1) (2)$ \Rightarrow (m,n) \neq 1$. Vô lí
Do đó tồn tại $m+tn \equiv 1(mod p)$ hoặc $(m+tn,p) =1$
Trong cả hai trường hợp này ta đều có : $(m+tn,p) =1$
Do vậy bổ đề được chứng minh.

Quay trở lại bài toán. Giả sử $a=\prod \limits _{i=1}^{k} p_i^{c_i}$
Theo bổ đề trên tồn tại $t_i $sao cho $(m+t_i .n , p_i)=1 \forall i=\bar{1;k}$
Theo định lí phần dư TRUNG HOA ,tồn tại $t$ thỏa mãn hệ đồng dư : $t \equiv t_i (mod p_i} \forall i=\bar{1;k}$
Khi đó ta chứng minh $(m+tn,a)=1$
Thật vậy Do $(m+tn,p_i)=(m+t_i.n ,p_i) = 1 \Rightarrow (m+tn,p_i^{c_i} )= 1 \forall i=\bar{1;k}$
Nên $(m+tn;a)=1$
ĐIỀU PHẢI CHỨNG MINH.

Chú ý : Cách chúng minh đã chỉ rõ 1 thuật toán tìm các số t như vậy.

CUỘC ĐỜI CÒN NHIỀU NIỀM VUI . HÃY ĐỨNG LÊN ...

[dtdong91]

Bài thực ra chỉ cần đưa về giải pt nghiệm nguyên
(a,n)=d ta chọn k sao cho (a,k)=1 và x+k chia hết cho d ( sd hệ thặng dư lấy k bất kì sao cho (a,k)=1 ta có x+mk với m=$\bar{1,d}$ là hệ thặng dư đầy đủ mod d)