Chủ đề này có 2 trả lời

[mai quoc thang]

Cho a,b,c>0.Chứng minh:$\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a} \geq a+b+c+\dfrac{4(a-b)^2}{a+b+c}$

[supermember]

Trước tiên ta có các bổ đề sau

Bổ đề : Với $a, b$ là những số thực tùy ý

$x , y$ là những số dương thì

$ \dfrac{a^{2}}{x} + \dfrac{b^{2}}{y} \geq \dfrac{(a+b)^{2}}{x+y}$$$

$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \geq \dfrac{4}{x+y}$$(**)$

Cm chỉ $, (**)$đơn thuần là $BCS$ các bạn tự làm

Bây giờ áp dụng $$ ta có

$ \dfrac{a^2}{b} + \dfrac{b^2}{c} +\dfrac{c^2}{a} - (a +b+c ) $

$= ( \dfrac{a^{2}}{b}-2a + b) +(\dfrac{b^{2}}{c}-2b + c) +(\dfrac{c^{2}}{a} - 2c + a) $

$ = \dfrac{(a-b)^{2}}{b} + (\dfrac{(b-c)^{2}}{c} + \dfrac{(c-a)^{2}}{a})$

$\geq \dfrac{(a-b)^{2}}{b}+ \dfrac{((b-c)+(c-a))^{2}}{c+a} $


$= (a-b)^{2}(\dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c+a})$

$ \geq \dfrac{4(a-b)^{2}}{a+b +c} $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 14-04-2008 - 22:33

[supermember]

Trước tiên ta có các bổ đề sau

Bổ đề : Với $a, b$ là những số thực tùy ý

$x , y$ là những số dương thì

$ \dfrac{a^{2}}{x} + \dfrac{b^{2}}{y} \geq \dfrac{(a+b)^{2}}{x+y}$$$

$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \geq \dfrac{4}{x+y}$$(**)$

Cm chỉ $, (**)$đơn thuần là $BCS$ các bạn tự làm

Bây giờ áp dụng $$ ta có

$ \dfrac{a^2}{b} + \dfrac{b^2}{c} +\dfrac{c^2}{a} - (a +b+c ) $

$= ( \dfrac{a^{2}}{b}-2a + b) +(\dfrac{b^{2}}{c}-2b + c) +(\dfrac{c^{2}}{a} - 2c + a) $

$ = \dfrac{(a-b)^{2}}{b} + (\dfrac{(b-c)^{2}}{c} + \dfrac{(c-a)^{2}}{a})$

$\geq \dfrac{(a-b)^{2}}{b}+ \dfrac{((b-c)+(c-a))^{2}}{c+a} $


$= (a-b)^{2}(\dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c+a})$

$ \geq \dfrac{4(a-b)^{2}}{a+b +c} $ ( Áp dụng $(**)$)


Ê cu , bài này nhảm wá

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 14-04-2008 - 22:29