Chủ đề này có 1 trả lời

[HUYVAN]

Tìm tất cả các số nguyên không âm $x, y, z$ thỏa mãn phương trình $12^x+4^y=2008^z$

[witch_king]

Đặt f₂(a) với a N^* là số tự nhiên lớn nhất sao cho a 2^f₂(a)
A=12^x+4^y
B=2008^z
Nhận xét: cho a,b N^*,f₂(a+b)= min(f₂(a);f₂(b))
Trường hợp 1: x=y
Thử x=0 và x=1 vô nghiệm
x 2
12^x+4^x=4^x(3^x+1)
Nếu x chẵn thì 3^x 1 (mod 4) 3^x+1 2 (mod 4)
f₂(A)=f₂(4^x(3^x+1))=2x+1
Nếu x lẻ thì f₂(3^x+1)=f₂(4(3^x-1-3^x-2+....+1))=2
f₂(A)=2x+2
2x+2=3z
Vì f₂(A)=f₂(B) mà f₂(B)=3z nên 2x+1=3z hoặc 2x+2=3z
x không chia hết cho 3
4^x 4 hoặc 7 (mod 9)
A 4 hoặc 7 (mod 9) (vì 3^x+1 1 (mod 9))
Mà B 1 (mod 9) nên vô lý
Trường hợp 2: x y
k=min(x;y)
f₂(A)=2k
2k=3z
k 3 và z chẵn
z chẵn 2008^z 1 (mod 9) và 2008^z 1 (mod 7)
Nếu y 3 thì 4^y=4³ⁱ 64ⁱ 1 (mod 7) 2008^z-4^y 7 12^x 7 (vô lý)
y không chia hết cho 3
y>x=k và x 3 và 4^y 4 hoặc 7 (mod 9)
x=0 12^x 1 (mod 9) 2008^z-12^x 9 4^y 9 (vô lý)
x>0 12^x 0 (mod 9) 2008^z-12^x 1 (mod 9) 4^y 1 (mod 9) (vô lý)
Vậy, phương trình đầu không có nghiệm nguyên không âm
P/S: Cách giải của em là thế, tác giả thấy sao?