Chủ đề này có 3 trả lời

[mottoan93]

CMR: 1/a(b+1) + 1/b(c+1) + 1/c(a+1) 3/1+abc

[tuan101293]

CMR: 1/a(b+1) + 1/b(c+1) + 1/c(a+1) 3/1+abc

Đặt a=k$ \dfrac{y}{x} $,b=k$ \dfrac{z}{y} $,c=k$ \dfrac{x}{z} $(k>0)
Ta có BĐT tương đương là:
$ \dfrac{1}{kz/y+ k^{2}x/y } $+$ \dfrac{1}{kx/z+ k^{2}y/z } $+$ \dfrac{1}{ky/x+ k^{2}z/x } $ $ \dfrac{3}{1+ k^{3} } $
$ \dfrac{y^{2}}{yz+ kxy} $+$ \dfrac{z^{2}}{xz+ kyz } $+$ \dfrac{x^{2}}{xy+ kxz } $ $ \dfrac{3k}{1+k^{3}} $
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có:
VT $ \dfrac{(x+y+z)^{2}}{(k+1)(xy+yz+zx)} $ $ \dfrac{3}{k+1} $
Vì thế ta cần chứng minh thêm
$ \dfrac{3}{k+1} $ $\dfrac{3k}{1+k^{3}} $ $(k-1)^{2}(k+1)$ 0
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y=z,k=1 a=b=c=1

[rainbowdragon]

Thiếu bượcx chuẩn hóa abc =1 rồi ,mà nếu đã như thế thì ko cần k nữa .

[vd_tan]

Bài này tổng quát được à