Chủ đề này có 6 trả lời

[supermember]

Bài toán


Cho $n$ số nguyên không âm $a_1 , a_2 ,...., a_n$ có tổng bằng $1$ $\( n\geq 2 \)$


Tìm giá trị lớn nhất của




$ A = \sum_{i=1}^{n} \( a_{i}^{4} - a_{i}^{5} \) $

Cu Thắng vào trổ tài đi , bài này về hình thức thì quá đẹp

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 21-05-2008 - 17:06

[mai quoc thang]

Cu Thắng bận quá!!!! Thôi đễ cu Lộc tự giải vậy:D .
Bài này hình như ra $\dfrac{1}{16}$;đẳng thức xảy ra khi có hai số bằng$\dfrac{1}{2} $ và các số còn lại bằng 0.

[vịt con]

Bài toán
Cho $n$ số nguyên không âm $a_1 , a_2 ,...., a_n$ có tổng bằng $1$ $\( n\geq 2 \)$
Tìm giá trị lớn nhất của


$ A = \sum_{i=1}^{n} \( a_{i}^{4} - a_{i}^{5} \) $

Cu Thắng vào trổ tài đi , bài này về hình thức thì quá đẹp

bài này quen quen,hình như là đề thi của TQ
nói chũng cũng không khó

[supermember]

Đây là 1 bài toán khó , Hero TVƠ xin trình bày lời giải của thầy Hero TVƠ :

Xét hàm số : $f(x) = x^4 - x^5$ có tập xác định là $R$


Ta có $f''(x) = 4x^{2}(3-5x)$ , $f(0) = 0$


Dễ thấy $f(x)$ là hàm số lồi thật sự trên $ [ 0 \ ; \ \dfrac{3}{5}] $


Bây giờ thì do vai trò của $ a_1 , a_2 , ..., a_n$ là như nhau nên không giảm tổng quát


giả sử $a_1 \geq a_2 \geq ....\geq a_n$ , ta kí hiệu biểu thức đã cho là $A \( a_1 ; \ a_2 ;....; a_n \)$ . Ta sẽ xem xét bài toán với $n \geq 3$


Xét $2$ trường hợp :


Trường hợp $1$ : nếu $a_1 \ \leq \ \dfrac{3}{5}$


Dễ thấy $ \( \dfrac{3}{5} ; \ \dfrac{2}{5} ; \ ; 0 ;....; 0 \) \succ \( a_1 ;\ a_2 ;....; a_n \)$


Suy ra $\sum_{i=1}^{n} f(a_i) \leq f \(\dfrac{3}{5} \) + f \( \dfrac{2}{5} \) = \dfrac{42}{625} \ < \ \dfrac{1}{12} $


Trường hợp $ 2$ : $a_{1} \ > \ \dfrac{3}{5}$


Khi đó $ 1-a_{1} \ , \ a_2 \ ,..., \ a_n \leq \dfrac{2}{5}$

Tiếp tục sử dụng bộ trội , dễ thấy $ \( 1-a_1 ; 0 ; 0 ;....;0 \) \succ \(a_2 ; a_3 ;....; a_n \)$

$ \Rightarrow \sum_{i=2}^{n} f(a_i) \leq f(1 -a_i)$ ( bất đẳng thức $Karamata$ )


$ \Rightarrow A \( a_1 ; \ a_2 ;....; a_n \) \leq f(a_1) + f( 1 - a_1) $


Bài toán quy về với bài toán cực trị $2$ biến đơn giản :


Tìm giá trị lớn nhất của $H = a^4 - a^5 + b^4 - b^5$ với $a ,b$ không âm và $a + b =1$

$H = a^{4}(1-a ) + b^{4}(1 - b) = a^{4}b + b^{4}a $


$ = ab( a^{3} + b^{3} ) = ab( a+b)( a^{2} - ab + b^{2}) $


$ = ab(a+b)\( (a+b)^{2} - 3ab \) = ab(1 -3ab)$


Ngoài ra từ $ab \leq \dfrac{ (a+b)^{2}}{4} = \dfrac{1}{4}$

$ \Rightarrow 1 - 3ab $ là số không âm

Nên áp dụng bđt giữa trung bình cộng và trung bình nhân

Ta có $\( 3ab(1 - 3ab ) \) \leq ( \dfrac{ 3ab + ( 1- 3ab) }{2})^{2} = \dfrac{1}{4} $

$ \Rightarrow ab( 1 - 3ab) \leq \dfrac{1}{12} $
$ \Rightarrow A \( a_1 ; \ a_2 ;....; a_n \) \leq \dfrac{1}{12} $

Từ $2$ trường hợp đã xét nêu trên $ \Rightarrow A \( a_1 ; \ a_2 ;....; a_n \) \leq \dfrac{1}{12} $

Đồng thời từ hệ phương trình : $ 3ab = 1 -3ab \ ; \ a +b =1 ; \ a ,b \geq 0 $


Ta dễ dàng kiểm tra được biểu thức trên đạt giá trị bằng $\dfrac{1}{12}$ khi trong $n$ biến


có $1$ biến bằng $ \dfrac{3 + \sqrt{3}}{6}$ , $1$ biến bằng $\dfrac{ 3 - \sqrt{3}}{6}$


và $ n -2 $ biến còn lại bằng $0$


Vậy $max_{ A \( a_1 ; \ a_2 ;....; a_n \) } \ = \ \dfrac{1}{12}$

Chi tiết về bất đẳng thức $Karamata$ ( cách chứng minh , những dạng áp dụng cơ bản ) các bạn có thể tham

khảo trong Seminar của diễn đàn . Hi vọng bài toán nhỏ vửa rồi sẽ cho các bạn thấy được sức mạnh của giải tích trong

bất đẳng thức bên cạnh những bất đẳng thức cổ điển

Huỳnh Võ Phương An

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 14-07-2008 - 01:32

[dtdong91]

Bài này ta xét hàm $ f(n)=x^n+y^n-(x+y)^n$
với $ x,y<1,n \in N*$
Dễ có $f'(n)>0$ với $x<0,5 và y \le x$
=> $ x^4+y^4-(x+y)^4<x^5+y^5-(x+y)^5$
Từ đây có thể hạ việc tìm min về còn 2 biến

[shockmath_xayda]

bài này dùng quy nạp được

[Allnames]

quy nạp sao thế bạn