Chủ đề này có 5 trả lời

[supermember]

Bài toán :

Cho $a \ ; \ b \ ; \ c$ là $3$ số thực dương


Chứng minh rằng , ta luôn có bất đẳng thức sau :



$ \( 1 \ + \ \dfrac{a}{b} \)\( 1 \ + \ \dfrac{b}{c} \)\( 1 \ + \ \dfrac{c}{a} \) \ \geq \ 2\( 1 \ + \ \dfrac{3\sqrt{3 . \( a^2 \ + \ b^2 \ + \ c^2 \)}}{a \ + \ b \ + \ c} \)$


Khi nào xảy ra dấu đẳng thức

Hero TVƠ Y An Forever

[tientthegioi]

Khai triển tương đương ta có BDT tương đương:
$ \dfrac{a+b}{c}+\dfrac{b+c}{a}+\dfrac{c+a}{b} \geq \dfrac{6\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}}{a+b+c}$
Đặt$ a^2+b^2+c^2=3=p^2-2q$
Với$ p=a+b+c,q=ab+bc+ca,r=abc.$
Ta có: BDT tương đương với: $p^2q-3pr \geq 18r.$
Mặt khác :$q^2\geq 3pr$ nên :$VT(*) \geq (2q+3)q-q^2 \geq 18r \Leftrightarrow q^2+3q \geq 18r.$
Áp dụng Cauchy: $q^2+3q \geq 2\sqrt{3q^3} \geq 2\sqrt{3^4r^2} \geq 18r$

[quangvinht2]

Đây là bài 4 trong đề chọn đội tuyển 11 của trường chuyên Lê Quý Đôn (Vũng Tàu) vừa thi mấy ngày.
Cách 1. Dùng phương pháp S.O.S
BĐT tương đương với $ \sum \dfrac{a+b}{c} \geq \dfrac{6 \sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})} }{a+b+c} $ (1)
$ \Leftrightarrow \sum \dfrac{a+b}{c}-6 \geq \dfrac{6 \sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})} }{a+b+c}-6 $
$ \Leftrightarrow \sum \dfrac{(a-b)^{2}}{ab} \geq \dfrac{6 \sqrt{3} \sum (a-b)^{2} }{(a+b+c)(sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}+a+b+c)} $
Điều này hiển nhiên đúng do
$(a+b+c)(sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}+a+b+c) \geq 2(a+b+c)^{2} \geq 6(ab+bc+ca) > 6 max (ab;bc;ca) $
Cách 2.
$(1) \Leftrightarrow (a+b+c)(\sum \dfrac{a+b}{c}) \geq 6 \sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})} $
Ta có: $(a+b+c)(\sum \dfrac{a+b}{c})= \sum (\dfrac{(a+b)^{2}}{c}+c) +a+b+c=(a^{2}+b^{2}+c^{2}) \sum( \dfrac{1}{a})+2 \sum \dfrac{ab}{c} +a+b+c \geq (a^{2}+b^{2}+c^{2}) \sum( \dfrac{1}{a})+3a+3b+3c = \sum \dfrac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{a} +3a \geq 6 \sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})} $ (theo BĐT Cauchy cho 3 cặp 2 số)

[supermember]

Thực ra thì bài này không chặt lắm

Nhưng với $1$ người có kinh nghiệm thì có thể sẽ nghĩ theo hướng sau đây :

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với :

$ \( \dfrac{a}{b} \ + \ \dfrac{b}{c} \ + \ \dfrac{c}{a} \) \ + \ \( \dfrac{b}{a} \ + \ \dfrac{c}{b} \ + \ \dfrac{a}{c} \) \ \geq \ \dfrac{ 6\sqrt{ 3 \( a^2 \ + \ b^2 \ + \ c^2 \)}}{ a \ + \ b \ + c } $ $(2)$

Ta có $1$ bổ đề khá mạnh sau : ( của Apollo bên Mathlinks )

Với $a \ ; \ b \ ; \ c$ là những số dương tùy ý thì ta luôn có :

$ \( \dfrac{a}{b} \ + \ \dfrac{b}{c} \ + \ \dfrac{c}{a} \) \ \geq \ 3 \sqrt{ \dfrac{a^2 \ + \ b^2 \ + \ c^2 }{ ab \ + \ bc \ + \ ca }} $ $$

Thật vậy , $ \ \Leftrightarrow \ \( \dfrac{a}{b} \ + \ \dfrac{b}{c} \ + \ \dfrac{c}{a} \)^{2} \ \geq \ 9 \dfrac{a^2 \ + \ b^2 \ + \ c^2 }{ ab \ + \ bc \ + \ ca } $

$ \Leftrightarrow \dfrac{ \sum_{cyc} a^{2}b^{4} }{(abc)^{2}} \ + \ 2\dfrac{ \sum_{cyc} a^{2}b }{abc} \ \geq \ 9 \dfrac{a^2 \ + \ b^2 \ + \ c^2 }{ ab \ + \ bc \ + \ ca } $

$ \Leftrightarrow \( ab \ + \ bc \ + \ ca \) \( \sum_{cyc} a^{2}b^{4} \ + \ 2abc \sum_{cyc} a^{2}b \) \ \geq \ 9(bca)^{2} \(a^2 \ + \ b^2 \ + \ c^2 \) $

$ \Leftrightarrow \( ab \ + \ bc \ + \ ca \) \sum_{cyc} \( a^{2}b^{4} \ + \ 2ab^{3}c^{2} \) \ \geq \ 9(bca)^{2} \(a^2 \ + \ b^2 \ + \ c^2 \)$$(3)$

Áp dụng bđt $Cauchy$ , ta có :

Vế trái $(3)$ $ \geq 9 \sqrt[3]{(abc)^{2}} \sum_{cyc} \sqrt[3]{a^{4}b^{10}c^{4}} \ \geq 9 \sqrt[3]{(abc)^{2}} \sum_{cyc} b^{2} \sqrt[3]{(abc)^{4}}$

$ \ = \ 9 \sqrt[3]{(abc)^{6}} \sum_{cyc} b^2 \ = \ 9(abc)^{2}\(a^2 \ + \ b^2 \ + c^2 \)$

$ \Rightarrow (3)$ đúng $ \Rightarrow $ được chứng minh hoàn toàn

Áp dụng $$ ta có :
$\( \dfrac{a}{b} \ + \ \dfrac{b}{c} \ + \ \dfrac{c}{a} \) \ \geq \ 3 \sqrt{ \dfrac{a^2 \ + \ b^2 \ + \ c^2 }{ ab \ + \ bc \ + \ ca }} $

và $\( \dfrac{b}{a} \ + \ \dfrac{c}{b} \ + \ \dfrac{a}{c} \) \ \geq \ 3 \sqrt{ \dfrac{a^2 \ + \ b^2 \ + \ c^2 }{ ab \ + \ bc \ + \ ca }}$

$ \Rightarrow $ vế trái $(2)$ $ \geq 6 \sqrt{ \dfrac{a^2 \ + \ b^2 \ + \ c^2 }{ ab \ + \ bc \ + \ ca }} $

Do đó , ta chỉ cần chứng minh :

$6 \sqrt{ \dfrac{a^2 \ + \ b^2 \ + \ c^2 }{ ab \ + \ bc \ + \ ca }} \ \geq \ \dfrac{ 6\sqrt{ 3 \( a^2 \ + \ b^2 \ + \ c^2 \)}}{ a \ + \ b \ + c }$

$ \Leftrightarrow \( a \ + \ b \ + \ c \)^{2} \ \geq \ 3\( ab \ + \ bc \ + ca \)$

$ \Leftrightarrow a^2 \ + \ b^2 \ + \ c^2 \ \geq \ ab \ + \ bc \ + \ ca$

$ \Leftrightarrow (a \ - \ b )^{2} \ + \ (b \ - \ c )^{2} \ + \ (c \ - \ a )^{2} \ \geq \ 0$

Bất đẳng thức cuối cùng đúng $ \Rightarrow $ bất đẳng thức cần chứng minh đúng

Và đây là điều phải chứng minh

Hero TVƠ Y An Forever

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 19-08-2008 - 16:17

[quangvinht2]

Bài này thì không chặt thật.
Ban đầu định ra bài này $ \sum \dfrac{a}{b+c} \geq \dfrac{3 \sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})} }{2(a+b+c)} $
nhưng nghĩ lại trong giờ kiểm tra 150 phút cho 6 bài mà cho khó thì hơi ác. Động viên hs mới từ lớp 10 lên.
Với lại nếu chưa biết bổ đề như bạn nói thì ko dùng trong phòng thi được.

[vo thanh van]

Ta có $1$ bổ đề khá mạnh sau : ( của Apollo bên Mathlinks )

Với $a \ ; \ b \ ; \ c$ là những số dương tùy ý thì ta luôn có :

$ \( \dfrac{a}{b} \ + \ \dfrac{b}{c} \ + \ \dfrac{c}{a} \) \ \geq \ 3 \sqrt{ \dfrac{a^2 \ + \ b^2 \ + \ c^2 }{ ab \ + \ bc \ + \ ca }} $ $$

Hero TVƠ Y An Forever

Theo như em biết thì cái bổ đề trên là của anh Cẩn với một hướng chứng minh khác,đó là dùng SOS.
Bổ đề mạnh hơn cái bổ đề trên nữa là :
$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\ge 3(\dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca})^{\dfrac{2}{3}}$