Chủ đề này có 14 trả lời

[thuong]

Có bao nhiêu số có 5 chữ số chia hết cho 5 và hai chữ số cạnh nhau thì khác nhau?

[canhochoi]

Xét số abcde , trong đó e { 0,5 }
Nếu e = o, thì có cả thảy là 6.7.8.9 số tạo thành .
Nếu e = 5, thì có cả thảy là 8.8.7.6 số tạo thành.
Vậy có tổng cộng là 5712 số .

[thihoa_94]

Có bao nhiêu số có 5 chữ số chia hết cho 5 và hai chữ số cạnh nhau thì khác nhau?

Số thỏa mãn đề bài có dạng abcde ( a#o, e $\in ${0;5} )
Nếu b=0, a có 9 cách chọn
c có 9 cách chọn
d có 8 cách chọn
e có 2 cách chọn
Do đó có 9.9.8.2 =1296 số
Nếu b#o, b có 9 cách chọn
a có 8 cách chọn
c có 9 cách chọn
d có 8 cách chon
e có 2 cách chọn
Do đó có 9.8.9.8.2 = 10368 số
Vậy có 1296 + 10368 = 11664 số.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thihoa_94: 23-07-2009 - 18:11

[namdung]

Lời giải của canhochoi là sai chắc chắn rồi. Ở đây yêu cầu là hai chữ số cạnh nhau thì khách nhau chứ không phải là các chữ số khác nhau.

Lời giải của thihoa_94 thì gần đúng hơn nhưng vẫn chưa đúng. Các bạn xem lại đi nhé.

[canhochoi]

Đúng rồi, xem lại thì thấy em sai thật ( đúng là nhanh,nhảu, đoảng thật ! ). Đúng là kết quả phải là 11664 nhưng mà phải là 9.9.9.8.2 = 11664. ( vì a luôn có 8 cách,b và c và d luôn có 9 cách, e có 2 cách)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi canhochoi: 25-07-2009 - 00:16

[chuyentoan]

Tại sao a luôn có 8 cách chọn?
Tại sao e luôn có 2 cách chọn?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chuyentoan: 25-07-2009 - 04:39

[chuyentoan]

Gọi $f(n)$ là số các số có $n$ chữ số chia hết cho $5$, không có hai chữ số nào liền nhau giống nhau và không nhất thiết chữ số đầu tiên phải khác $0$.
$g(n)$ là số các số có $n$ chữ số chia hết cho $5$, không có hai chữ số nào liền nhau giống nhau và chữ số đầu tiên phải khác $0$.

Bài toán yêu cầu ta tính $g(5)$.

Các bạn thử kiểm tra lại xem các công thức sau có đúng không nếu chuyentoan tính không nhầm:

$f(1)=2$
$g(1)=1$

$f(n)=9f(n-1)$ với $n>1$
$g(n)=f(n)-g(n-1)$ với $n>1$

[chuyentoan]

Tính toán tiếp ta có:
$g(n)-9g(n-1)$
$=f(n)-g(n-1)-9f(n-1)+9g(n-2)$
$=-g(n-1)+9g(n-2)$
Suy ra $g(n)=8g(n-1)+9g(n-2)$

Đến công thức này chuyentoan nghĩ lại và thấy có thể lập luận một cách khác ta cũng thu được công thức này: Xét $x_nx_{n-1}x_{n-2}...x_2x_1$ là một dãy thỏa mãn tính chất $g(n)$. Nếu $x_{n-1}$ bằng $0$ thì $x_n$ có $9$ cách chọn và dãy $x_{n-2}...x_2x_1$ là một dãy thỏa mãn tính chất $g_{n-2}$. Nếu $x_{n-1}$ khác $0$ thì ta thấy $x_n$ có $8$ cách chọn và dãy $x_{n-1}x_{n-2}...x_2x_1$ là một dãy thỏa mãn tính chất $g_{n-1}$. Như vậy ta cũng đi đến được công thức $g(n)=8g(n-1)+9g(n-2)$.

Đến đây thì các bạn có thể giải tiếp một cách dễ dàng!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chuyentoan: 26-07-2009 - 21:09

[namdung]

Cảm ơn chuyentoan đã trình bày lời giải chi tiết. Tính toán lần lượt, với các giá trị ban đầu

g(1) = 1, g(2) = 17, chúng ta được các giá trị tiếp theo là: 145, 1313, 11809.

Theo ký hiệu của chuyentoan thì $f(n) = 2.9^{n-1}$ với lý luận như sau: Chữ số cuối cùng có 2 cách chọn, các chữ số kế tiếp có 9 cách chọn.

Đẳng thức $g(n) + g(n-1) = f(n) (1) $ khá rõ ràng: Các số của g(n-1) thêm số 0 ở đầu sẽ là các số thuộc f(n) bắt đầu bởi 0.

Từ đây, đặt $g(n) = h(n) + c.9^n$ thay vào (1), ta được $ h(n) + c.9^n + h(n-1) + c9^{n-1} = 2.9^{n-1}$. Nếu chọn c sao cho 9c + c = 2 (tức là c = 1/5) thì ta được $h(n) + h(n-1) = 0$. Chú ý h(1) = -4/5, ta suy ra $h(n) = 4*(-1)^n/5.$

vậy ta có $g(n) = (9^n + 4.(-1)^n)/5.$

Đây là một bài toán khó, không thể dùng cho các lớp đại trà được.

[chuyentoan]

Hoặc là từ $g(n)=8g(n-1)+9g(n-2)$ ta cũng có thể suy ra $g(n)$ có dạng $a(-1)^n+b9^n$ (Do $-1$ và $9$ là hai nghiệm của phương trình $X^2-8X-9=0$). Sau đó thay $n=1$ và $n=2$ vào ta cũng tìm được công thức như trên. Kiến thức này hình như không được đưa vào chương trình phổ thông.

[lamminhbato]

em làm thế này! Chả biết như thế nào, mọi ng xem thử: http://mathvn.org/fo...=5727#post_5727

[chuyentoan]

A chưa đọc kỹ cách giải của em bên kia. Căn bản công thức truy hồi của anh là cấp 2 (tức là tính đến hai số hạng trước của dãy) công thức của em là truy hồi cấp 1 (tức là tính theo một số hạng phía trước của dãy). Kết quả ở đây thì a check đúng 100% rồi. E thử check xem với công thức của em thì kết quả có y hệt không? Nếu kết quả giống thì khả năng cách giải của e cũng đúng. Nếu khác thì xem xét lại xem thế nào!

[lamminhbato]

A chưa đọc kỹ cách giải của em bên kia. Căn bản công thức truy hồi của anh là cấp 2 (tức là tính đến hai số hạng trước của dãy) công thức của em là truy hồi cấp 1 (tức là tính theo một số hạng phía trước của dãy). Kết quả ở đây thì a check đúng 100% rồi. E thử check xem với công thức của em thì kết quả có y hệt không? Nếu kết quả giống thì khả năng cách giải của e cũng đúng. Nếu khác thì xem xét lại xem thế nào!

Anh xem kỹ hộ em dc chứ ạ!

[lamminhbato]

Hoặc là từ $g(n)=8g(n-1)+9g(n-2)$ ta cũng có thể suy ra $g(n)$ có dạng $a(-1)^n+b9^n$ (Do $-1$ và $9$ là hai nghiệm của phương trình $X^2-8X-9=0$). Sau đó thay $n=1$ và $n=2$ vào ta cũng tìm được công thức như trên. Kiến thức này hình như không được đưa vào chương trình phổ thông.

Bài giải của em bên kia bị ẩu rồi anh ạ! Mình đếm "đểu" quá. Em xin được giải và trình bày lập luận chi tiết lại như sau:


Xét $S_n=\{a=\overline {d_1d_2...d_n}|$ $a$ $\vdots$ $5,$ $d_i\neq d_{i+1}\}$ là tập hợp chứa các số thoải yêu cầu bài toán. Đặt $|S_n|=a_n$.
Ta chia $S_n$ thành hai tập con rời nhau thoả mãn $S_n=A_n\cup B_n$; trong đó $A_n=\{a=\overline {d_1d_2...d_n}|$ $\overline {d_1...d_{n-1}}$ $\vdots$ $5\}$ và $B_n=\{b=\overline {d_1d_2...d_n}|$ $5$ $\nmid$ $\overline {d_1...d_{n-1}}\}$
$\bullet$ Loại 1: Xét $A_n$
Mỗi phần tử của $A_n$ được đặt tương ứng với duy nhất một phần tử thuộc $S_{n-1}$. Do đó tồn tại một song ánh $f$ sao cho $f: A_n\longrightarrow S_{n-1}$. Do đó $|A_n|=|S_{n-1}|=a_{n-1}$. $(1)$
$\bullet$ Loại 2: Xét $B_n$
Ta có nhận xét rằng với mỗi số $b'=\overline {d_1d_2...d_{n-1}}$ sao cho $5\nmid b'$ sẽ cho ra 2 số $b\in B_n$. Do đó $|B_n|=2|B'_{n}|$, trong đó $B'_{n}$ là tập chứa các số $b'$. Ta chia $B'_{n}$ thành hai tập rời nhau thỏa mãn $B'_{n}=C_n\cup D_n$; trong đó $C_n=\{c=\overline {d_1d_2...d_{n-1}}|$ $\overline {d_1d_2...d_{n-2}}$ $\vdots 5\}$ và $D_n=\{d=\overline {d_1d_2...d_{n-1}}|$ $5\nmid$ $\overline {d_1d_2...d_{n-2}}\}$
a) Xét loại $C_n$
Cứ mỗi $c'=\overline {d_1d_2...d_{n-2}}$ sẽ tương ứng với một phần tử thuộc $S_{n-2}$. Do đó nếu gọi $C'_n$ là tập hợp chứa các số $c'$ thì $|C'_{n}|=|S_{n-2}|=a_{n-2}$. Nhưng mỗi phần tử thuộc $C'_{n}$ lại tương ứng với 8 phần tử thuộc $C_n$ (Vì bản thân $d_{n-2}\in \{0,5\}$ cho nên $d_{n-1}$ có 8 cách chọn để tạo thành một phần tử thuộc $B'_{n}$). Do đó $|C_n|=8|C'_{n}|=8.a_{n-2}$. $$
b) Xét loại $D_n$
Mỗi số $d'=\overline {d_1d_2...d_{n-2}}$ $\leftrightarrow$ $b'$. Mặt khác số các số $b'$ chính là $|B'_{n}|=\dfrac {|B_n|}{2}$ $=\dfrac {|S_n|-|A_n|}{2}$ $=\dfrac {a_n-a_{n-1}}{2}$. Do đó nếu gọi $D'_{n}$ là tập chứa các số $d'$ thì ta có $|D'_n|=\dfrac {a_{n-1}-a_{n-2}}{2}$. Nhưng mỗi số $d'$ lại tương ứng với 7 phần tử thuộc $D_n$ (Vì với $d_{n-2}\neq \{0,5\}$ cho nên $d_{n-1}$ lúc này không được nhận $\{0,5\}$ và cả số đã được chọn ở $d_{n-2}$ nên nó chỉ còn 7 cách chọn để tạo thành một phần tử thuộc $B'_n$). Do đó $|D_n|=7|D'_n|=\dfrac {7(a_{n-1}-a_{n-2})}{2}$. $(**)$
Từ $$ và $(**)$ ta thu được $|B'_n|=8a_{n-2}+\dfrac {7(a_{n-1}-a_{n-2})}{2}$
Do đó $|B_n|=9a_{n-2}+7a_{n-1}$. $(2)$
Cho nên từ $(1)$ và $(2)$ ta có được công thức truy hồi $a_n=8a_{n-1}+9a_{n-2}$.

Đến đây chắc em làm đúng rồi . Tưởng bài này mới đầu dễ xơi, thế mà... suýt nữa đi tong vì tật "ẩu".

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lamminhbato: 31-07-2009 - 09:22

[chuyentoan]

Oái, nhìn ghê quá, a chưa dám đọc kỹ. Nhưng mà em truy hồi bằng cách rút ngắn số từ bên phải đúng không? Sao em không làm từ bên trái có phải đơn giản hơn không?