Lúc nãy ngồi lục lại mấy cuốn sách cũ thì thấy được bài toán sau:
Bài toán: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng:
a) $\sqrt{1^3+2^3}=1+2$;
b) $\sqrt{1^3+2^3+3^3}=1+2+3$;
c) $\sqrt{1^3+2^3+3^3+4^3}=1+2+3+4$;
d) $\sqrt{1^3+2^3+3^3+4^3+5^3}=1+2+3+4+5$.
Bằng một số biến đổi hoặc lười thì ta bấm máy tính thì đều thu được kết quả đúng. Mình đã thử lần lượt đến với số $15$ và đều đúng. Nên mình nghĩ tới $n$ số như sau:
Bài toán: Với mọi số nguyên $n\geq 1$ thì ta có: $\sqrt{\sum_{1}^{n}n^3}=\sum_{1}^{n}n$ (ghi như bình thường là: $\sqrt{1^3+2^3+3^3+...+n^3}=1+2+3+...+n$).
Viết lại bài toán cần chứng minh
$1^3+2^3+3^3 + .. n^3 = (1+2+3+... + n)^2$
Với $n=1; n=2$ thì đẳng thức hiển nhiên đúng, hay chính là câu a,b đó
Giả sử đẳng thức đúng với $n=k$
Tức $1^3+2^3 + 3^3 + ... k^3 = (1+2 + 3 +4 .. + k)^2$
Ta sẽ chứng minh nó đúng với $n=k+1$
Viết lại đẳng thức cần chứng minh $1^3+2^3+3^3+...k^3 + (k+1)^3 = (1+2 + 3 +4 .. + k + k+1)^2$ (*)
Mặt khác ta có công thức tính tổng sau $1+2+3+4+...+n = \frac{n(n+1)}{2}$
$\Rightarrow (1+2+3+4+...+n)^2 = \frac{(n^2+n)^2}{4}$
Vậy viết lại đẳng thức cần chứng minh
$\frac{(k^2+k)^2}{4} + (k+1)^3 = \frac{(k^2+3k+2)^2}{4}$
$\Leftrightarrow (k^2+3k+2)^2 - (k^2+k)^2 = 4(k+1)^3$
Bằng biện pháp "nhân tung tóe", đẳng thức cần chứng minh tuơng đuơng
$\Leftrightarrow 4k^3 +12k^2 + 12k + 4 = 4(k+1)^3$
$\Leftrightarrow 4(k+1)^3 = 4(k+1)^3$ ~ Đẳng thức này đúng.
Vậy theo nguyên lý quy nạp ta có đpcm.
P/s: last night, hú hu hù i stuck it
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 27-08-2012 - 12:16