Chủ đề này có 132 trả lời

[Zaraki]

Ý mình nói là trong topic này mà

Cái bạn đang nói là hằng đẳng thức $(7)$ trong #1.

[tranmanhtam]

Ngoài những hằng đẳng thức cơ bản trong sgk, còn có những hằng đẳng thức hay được sử dụng trong các bài toán như sau:

(1) $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac$


(2) $(a + b - c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab - 2bc - 2ac$


(3) $(a - b - c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2ac + 2bc$


(4) $a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a + b)$


(5) $a^3 - b^3 = (a - b)^3 + 3ab(a - b)$


(6) $ (a + b + c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3(a+b)(b+c)(c+a)$


(7) $ a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac)$


(8) $(a - b)^3 + (b - c)^3 + (c - a)^3 = 3(a - b)(b - c)(c - a)$


(9) $(a + b)(b + c)(c + a) - 8abc = a(b - c)^2 + b(c - a)^2 + c(a - b)^2$


(10) $ (a + b)(b+c)(c+a) = (a+b+c)(ab+bc+ca)-abc$


(11) $ ab^2+bc^2+ca^2 - a^2b - b^2c - c^2a = \dfrac{(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3}{3} $


(12)$ ab^3+bc^3+ca^3 - a^3b-b^3c-c^3a = \dfrac{(a+b+c)[(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3]}{3}$


(13) $a^n - b^n = (a - b)(a^{n - 1} + a^{n - 2}b + a^{n - 3}b^2 + ... + a^2b^{n - 3} + ab^{n - 2} + b^{n - 1} )$


(14) Với n lẻ:
$a^n + b^n = (a + b)(a^{n - 1} - a^{n - 2}b + a^{n - 3}b^2 - ... + a^2b^{n - 3} - ab^{n - 2} + b^{n - 1})$


(15) Nhị thức Newton:
$(a + b)^n = a^n + \dfrac{n!}{(n-1)!1!} a^{n - 1}b + \dfrac{n!}{(n-2)!2!}a^{n - 2}b^2 + ... + \dfrac{n!}{(n-k)!k!}a^{n - k}b^k+ ... + \dfrac{n!}{2!(n-2)!}a^2b^{n - 2}+\dfrac{n)!}{1!(n - 1)!}ab^{n - 1} + b^n$


Các bạn hãy cố gắng chứng minh các hằng đẳng thức từ (1) -> (12) xem như là bài tập
Ai có hằng đẳng thức nào thú vị, post lên mình sẽ thêm vào.

13) $a^n - b^n = (a - b)(a^{n - 1} + a^{n - 2}b + a^{n - 3}b^2 + ... + a^2b^{n - 3} + ab^{n - 2} + b^{n - 1} )$
co con dung khi n<1 k kau???

[Oral1020]

$$a^4+b^4+c^4-a^2b^2-b^2c^2-c^2a^2=\dfrac{\sum [(a+b)(a-b)]^2}{2}$$

[phanquockhanh]

Lúc nãy ngồi lục lại mấy cuốn sách cũ thì thấy được bài toán sau:
Bài toán: Với mọi số nguyên $n\geq 1$ thì ta có: $\sqrt{\sum_{1}^{n}n^3}=\sum_{1}^{n}n$ (ghi như bình thường là: $\sqrt{1^3+2^3+3^3+...+n^3}=1+2+3+...+n$).

Spoiler

Chưa chứng minh nên chưa biết có bị sai đến đoạn nào không và trùng hay sai thì đừng gạch nhé

Ta có:$x^{3}=\left [ \frac{x(x+1)}{2}\right ]^{2}-\left [ \frac{(x-1)x}{2} \right ]^{2}$
Áp dụng đẳng thức trên ta được:
$\sqrt{1^{3}+2^{3}+...+n^{3}}=\sqrt{\left ( \frac{1.2}{2} \right )^{2}-\left ( \frac{0.1}{2} \right )^{2}+\left ( \frac{2.3}{2}^{2} \right )-\left ( \frac{1.2}{2} \right )^{2}+\left [ \frac{n(n+1)}{2} \right ]^{2}-\left [ \frac{n(n-1)}{2} \right ]^{2}}$=
$\sqrt{\left [ \frac{n(n+1)}{2} \right ]^{2}}=\frac{n(n+1)}{2}$(1)
Lại có:1+2+3+...+n=$\frac{n(n+1)}{2}$(2)
Từ (1) (2) suy ra đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phanquockhanh: 12-02-2013 - 21:06

[nguyensidang]

thêm cho bạn cái này nè:
$(a+b)(b+c)(c+a)-8abc=\sum a(b-c)^{2}$

[nguyensidang]

Nhị thức Niuton kiếm đâu vậy

trong sách nâng cao có nhiều chứ bạn:

[Jayce Tran]

ai nêu cho em cái định luật cauchy được không, một số ví dụ nữa

[huykinhcan99]

đâu phải là định luật côsi (cauchy)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huykinhcan99: 06-04-2013 - 21:17

[huykinhcan99]

là BĐT côsi chứ

[huykinhcan99]

Thông thường trình bày dưới dạng: Trung bình cộng của n số thực không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng, và trung bình cộng chỉ bằng trung bình nhân khi và chỉ khi n số đó bằng nhau.

Với hai số: $\frac{a+b}{2} \geqslant \sqrt{ab}$

Với ba số: $\frac{a+b+c}{3} \geqslant \sqrt[3]{abc}$

Với n số : $\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+...+x_{n}}{n} \geqslant \sqrt[n]{x_{1}.x_{2}.x_{3}.....x_{n}}$

Dấu bằng xảy ra khi  $x_{1}=x_{2}=x_{3}=...=x_{n}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huykinhcan99: 06-04-2013 - 21:28

[AnnieSally]

$\left ( x+a \right )^{^{n}}=\sum_{k=0}^{n}\left \begin{pmatrix} & n & \\ & k & \end{pmatrix}x^{(n-k)}a^{k}$

Với$\left \begin{pmatrix} & n & \\ & k & \end{pmatrix}=\frac{n!}{(n-k)!k!}$

Gọi là số tổ hợp chập k của n phần tử.

[AnnieSally]

$(x+y)^{4}=x^{4}+4x^{^{3}}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}$

$(x+y)^{5}=x^{5}+5x^{^{4}}y+10x^{3}y^{2}+10x^{2}y^{3}+5xy^{4}+y^{6}$$(x+y)^{6}=x^{6}+6x^{^{5}}y+15x^{4}y^{2}+20x^{3}y^{3}+15x^{2}y^{4}+6xy^{5}+y^{6}$

[4869msnssk]

$\sum_{1}^{n}n^{6}$

ai phân tích ra hộ em với 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 4869msnssk: 19-05-2013 - 20:34

[suthanhson]

Thêm mấy cái
$(a+b)(b+c)(c+a)-8abc=a(b-c)^2+b(c-a)^2+c(a-b)^2$

$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}-\dfrac{3}{2}=\sum _{sym} \dfrac{(a-b)^2}{2(c+a)(b+c)}$

còn nữa nè 

$x^{3}+x^{2}*y+x*y^{2}+y^{3}=(x+y)(x^{2}+y^{2})$

[suthanhson]

$(x+y)^{4}=x^{4}+4x^{^{3}}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}$

$(x+y)^{5}=x^{5}+5x^{^{4}}y+10x^{3}y^{2}+10x^{2}y^{3}+5xy^{4}+y^{6}$$(x+y)^{6}=x^{6}+6x^{^{5}}y+15x^{4}y^{2}+20x^{3}y^{3}+15x^{2}y^{4}+6xy^{5}+y^{6}$

không bít mấy cái này có nên học thuộc không nữa

[AnnieSally]

không bít mấy cái này có nên học thuộc không nữa

Nên sử dụng tam giác Pascal cho việc học thuộc mấy hằng đẳng thức

[suthanhson]

còn nữa nè 

$x^{3}+x^{2}*y+x*y^{2}+y^{3}=(x+y)(x^{2}+y^{2})$

ngoài ra nêu đổi dấu một chút thì ta còn có là

$x^{3}-x^{2}*y+x*y^{2}-y^{3}=(x-y)(x^{2}+y^{2})$

không bít có đúng không nữa

[suthanhson]

Nên sử dụng tam giác Pascal cho việc học thuộc mấy hằng đẳng thức

tam giác pascal là gì vậy?

[TranTan2305]

Trong toán hoc, Tam giác Pascal là một mảng tam giác của hệ số nhị thức trong tam giác. Thuật toán được đặt theo tên của nhà toán học Pháp nổi tiếng  Blaise Pascal.

Khi viết các hệ số lần lượt với  ta được bảng

n

k

 

0

1

2

3

4

5

...

0

1

 

 

 

 

 

 

1

1

1

 

 

 

 

 

2

1

2

1

 

 

 

 

3

1

3

3

1

 

 

 

4

1

4

6

4

1

 

 

5

1

5

10

10

5

1

 

...

...

...

...

...

...

...

...

 

Trong tam giác số này, bắt đầu từ hàng thứ hai, mỗi số ở hàng thứ n từ cột thứ hai đến cột n-1 bằng tổng hai số đứng ở hàng trên cùng cột và cột trước nó. Sơ dĩ có quan hệ này là do có công thức truy hồi

 (Với )

[TranTan2305]

Đây là hằng đẳng thức Roy