Chủ đề này có 3 trả lời

[haictb]

cho so nguyen to p,p<3.CMR:
p^2 \(p-1)!(1+1/2+1/3+...1/p-1)

[L_Euler]

cho so nguyen to p,p<3.CMR:
p^2 \(p-1)!(1+1/2+1/3+...1/p-1)

Bạn có type nhầm đề không, nếu p là số nguyên tố <3 thì chỉ có thể là $p=2.$. Mà cũng không hiểu nổi đề nó bắt chứng minh cái gì nữa.

[Toanlc_gift]

Bạn có type nhầm đề không, nếu p là số nguyên tố <3 thì chỉ có thể là $p=2.$. Mà cũng không hiểu nổi đề nó bắt chứng minh cái gì nữa.

chắc là đề thế này:
cho số nguyên tố p>3,chứng minh rằng:
$\dfrac{{{p^2}}}{{(p - 1)!}}(1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + ... + \dfrac{1}{{p - 1}})$ là số nguyên
chả bik là đoán thế có đúng hem nữa:D

[FOOL90]

Đề bài chắc là thế này
P is a prime number , greater than 3. Prove that:
$ \dfrac{p^2}{(p-1)!} | \sum\limits_{i=1}^{p-1} \dfrac{1}{i}.$

Lời giải
(tất cả kí hiệu đồng dư ( $\equiv$ ) đều xét theo MOD P)
Ta có : $\sum\limits_{i=1}^{p-1} \dfrac{1}{i} = \sum\limits_{i=1}^{p-1} \dfrac{\dfrac{(p-1)!}{i}}{(p-1)!}$
nên bài toán tương đương Chứng minh $A=\sum\limits_{i=1}^{p-1} \dfrac{(p-1)!}{i}$$ \vdots p^2 $
Ta có $2A = \sum\limits_{i=1}^{p-1} (\dfrac{(p-1)!}{i} +\dfrac{(p-1)!}{p-i}) =p. \sum\limits_{i=1}^{p-1} \dfrac{(p-1)!}{i.(p-i)}$
Xét B = 2A/p =$\sum\limits_{i=1}^{p-1} \dfrac{(p-1)!}{i.(p-i)} \equiv \sum\limits_{i=1}^{p-1} \dfrac{-1}{-i^2} \equiv \sum\limits_{i=1}^{p-1} \dfrac{1}{i^2} \equiv \sum\limits_{j=1}^{p-1} j^2 \vdots p.$
Do đó $2A \vdots p^2$ , mà (p,2) =1 (vì p nguyên tố ,p>3 )nên $A \vdots p^2$ nên đúng.

Vậy ta có điều phải chứng minh.


Chú ý: thật ra thì bài này giải khá tắt , cần phải hiểu kí hiệu đồng dư của 2 phân số ở đây là xét đồng dư mod p của tử số!