Chủ đề này có 12 trả lời

[Le Phuong Thao Nhi]

Alô! Ai có thể giải bài cực trị này !!!Giải liền đi!
Cho a,b,c dương thỏa mãn: $ a^{2} + b^{2}+c^{2}+2abc = 1$.
Tìm Max P=abc.
?????

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khanhtm: 25-05-2009 - 19:52

[khanhtm]

Alô! Ai có thể giải bài cực trị này !!!Giải liền đi!
Cho a,b,c dương thỏa mãn: $ a^{2} + b^{2}+c^{2}+2abc = 1$.
Tìm Max P=abc.
?????

Từ giả thiết ta có thể đặt $a=\dfrac{x}{y+z};b=\dfrac{y}{x+z};c=\dfrac{z}{x+y}$
Từ cách đặt này ta có thể dễ dàng suy ra đc max P = 1/8
p/s:về cách đặt thì trong tạp chí toán tuổi thơ và 1 bài viết của titu andreescu có ghi rồi

[vd_tan]

uhm, sao giải phức tạp dậy.
${a^2} + {b^2} + {c^2} + 2abc = 1 \Rightarrow 1 \ge 3\sqrt[3]{{{{(abc)}^2}}} + 2abc $
Đặt $ t = \sqrt[3]{{abc}},t > 0 \Rightarrow 1 \ge 2{t^3} + 3{t^2} \Leftrightarrow {(t + 1)^2}(2t - 1) \le 0 \Rightarrow t \le \dfrac{1}{2} \Rightarrow abc \le \dfrac{1}{8} $;
Xong!

[vd_tan]

Cách giải khác: (Cấp 3)
Đặt $ a = \cos A,b = \cos B,c = \cos C \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2abc = 1
$, A,B,C là góc nhọn
$\dfrac{3}{2} \ge \cos A + \cos B + \cos C \ge 3\sqrt[3]{{\cos A\cos B\cos C}} \Rightarrow \sqrt[3]{{abc}} \le \dfrac{1}{2} \Rightarrow abc \le \dfrac{1}{8}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vd_tan: 25-05-2009 - 22:09

[Le Phuong Thao Nhi]

AD BĐT Cauchy ta có:
$a^2 +b^2 +c^2 +2abc \geq 4\sqrt[4]{2a^3 b^3 c^3 } $
$\Rightarrow 1 \geq 8a^3 b^3 c^3 $
$ \Rightarrow P \leq \dfrac{1}{8}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khanhtm: 29-05-2009 - 16:11

[nguyen_ct]

Từ giả thiết ta có thể đặt $a=\dfrac{x}{y+z};b=\dfrac{y}{x+z};c=\dfrac{z}{x+y}$
Từ cách đặt này ta có thể dễ dàng suy ra đc max P = 1/8
p/s:về cách đặt thì trong tạp chí toán tuổi thơ và 1 bài viết của titu andreescu có ghi rồi

ban. giải thich hô minh` cách đặt đi
theo gt it nhat 1 bô. số thỏa mãn a=cosA; b=cosB;c=cosC
nếu theo cách đặt của bạn thì a+b+c 3/2
nhưng theo gt thì a+b+c =cosA+cosB+cosC 3/2

[Toanlc_gift]

AD BĐT Cauchy ta có:
$a^2 +b^2 +c^2 +2abc \geq 4\sqrt[4]{2a^3 b^3 c^3 } $
$\Rightarrow 1 \geq 8a^3 b^3 c^3 $
$ \Rightarrow P \leq \dfrac{1}{8}$

có mỗi cách giải này là hay nhất thôi,mấy cách bên trên trâu quá

[Le Phuong Thao Nhi]

Cho a,b,c dương, a+b+c=1.
CMR: $\dfrac{3}{ab+bc+ca}+\dfrac{2}{a^2+b^2+c^2}>14$

[nguyen văn]

Cho a,b,c dương, a+b+c=1.
CMR: $\dfrac{3}{ab+bc+ca}+\dfrac{2}{a^2+b^2+c^2}>14$

sử dụng 1 /a +1/b >= 4/ a+b
nhung truoc tien phai nhan ca tu và mẫu của số hạng đâu` vơj' 2

hok bít c0' dúng hok

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyen văn: 11-06-2009 - 21:01

[Hero Math]

Cho a,b,c dương, a+b+c=1.
CMR: $\dfrac{3}{ab+bc+ca}+\dfrac{2}{a^2+b^2+c^2}>14$

Toàn mấy bài cơ bản
Dùng$ \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\geq \dfrac{4}{x+y}$ và$ (x+y+z)^{2}\geq 3(xy+xz+yz)$
$VT=2(\dfrac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\dfrac{1}{2(ab+bc+ac)})+\dfrac{2}{ab+bc+ac} \geq \dfrac{8}{(a+b+c)^{2}}+\dfrac{6}{(a+b+c)^{2}}=14$
dấu = ko xảy ra

[tuan101293]

thấy chú Hero Math sung quá,cho chú 1 bài cơ bản nha:
$x,y,z>0$
$\sum x=xyz$
CMR:$\sum xy\geq 3+\sum \sqrt{x^2+1}$

[huyetdao_tama]

thấy chú Hero Math sung quá,cho chú 1 bài cơ bản nha:
$x,y,z>0$
$\sum x=xyz$
CMR:$\sum xy\geq 3+\sum \sqrt{x^2+1}$

$\sum xy\geq 3+\sum \sqrt{x^2+1}$

$ \Leftrightarrow ( \sum xy-3)^2 \geq( \sum \sqrt{x^2+1})^2$

Có:$ ( \sum \sqrt{x^2+1})^2= \sum x^2+3+2 \sum \sqrt{(x^2+1)(y^2+1)} \leq 3 \sum x^2+9$

$ \Rightarrow ( \sum xy-3)^2 \geq 3 \sum x^2+9$
$ \Leftrightarrow ( \sum xy)^2 \geq 3(x+y+z)^2=3xyz(x+y+z) $(Đúng)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huyetdao_tama: 12-06-2009 - 18:21

[Toanlc_gift]

Cho a;b;c>0 thỏa mãn $a+b+c=3$ chứng minh rằng:
$\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a} + 3abc \ge 6$