Chủ đề này có 29 trả lời

[cvp]

Cho a,b,c là các số thực dương.Chứng minh bđt sau:
$\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\ge a+b+c+\dfrac{4(a-b)^2}{a+b+c}$

[vu viet anh]

Cho a,b,c là các số thực dương.Chứng minh bđt sau:
$\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\ge a+b+c+\dfrac{4(a-b)^2}{a+b+c}$

Giải:
Ta có:
$\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}-a-b-c$
$=\dfrac{(a-b)^2}{b}+\dfrac{(b-c)^2}{c}+\dfrac{(c-a)^2}{a}$
$\geq \dfrac{(a-b)^2}{b}+\dfrac{(a-b)^2}{c+a}$
$=(a-b)^2)(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c+a})\geq \dfrac{4(a-b)^2}{a+b+c}$
$=>dpcm$.

[cvp]

Bài tiếp theo:
Cho $x,y,z \in [\dfrac{1}{2};,2]$. Chứng minh rằng:
$8(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x})\ge 5(\dfrac{y}{x}+\dfrac{z}{y}+\dfrac{x}{z})+9$

[cvp]

Ủa ko ai làm bài trên sao???dùng dồn biến thui mà
Vậy mời thử tiếp bài toán nè nhé:
Cho $a,b,c>0$.Chứng minh rằng:
$\dfrac{(a^2+b^2+c^2)}{ab+bc+ca}+ \dfrac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)} \ge2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cvp: 30-06-2009 - 21:28

[nguyen_ct]

Ủa ko ai làm bài trên sao???dùng dồn biến thui mà
Vậy mời thử tiếp bài toán nè nhé:
Cho $a,b,c>0$.Chứng minh rằng:
$\dfrac{(a^2+b^2+c^2)}{ab+bc+ca}+ \dfrac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)} \ge2$

mới xem qua nghe chừng S.O.S là dcj
$VT-VP=\sum (a-b)^2((a+b)(b+c)(c+a)-2c(ab+bc+ca)) \geq 0$
$ S_{c} , S_{b},a^2 S_{b}+b^2 S_{a} \geq 0$
đang ngồi quán chỉ nháp dcj vậy thui bạn thông cảm

[tuan101293]

Mình góp vui văn nghệ bài tự chế
$(\dfrac{a^3+b^3+c^3}{3abc})^2+1\ge 2(\dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca})^3$

[nguyen_ct]

Mình góp vui văn nghệ bài tự chế
$(\dfrac{a^3+b^3+c^3}{3abc})^2+1\ge 2(\dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca})^3$

úi nhầm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyen_ct: 01-07-2009 - 11:20

[cvp]

Đã góp vui thì tui góp thêm
Cho $x,y,z\ge \dfrac{2}{3}$ và $x+y+z=3$
Chứng minh rằng: $x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\ge xy+yz+zx$
Dấu = xảy ra khi nào??

[cvp]

Mình góp vui văn nghệ bài tự chế
$(\dfrac{a^3+b^3+c^3}{3abc})^2+1\ge 2(\dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca})^3$

Làm thử xem sao:
bt $<=>(\dfrac{a^3+b^3+c^3-3abc}{3abc}+1})^2+1\ge 2(\dfrac{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca}{ab+bc+ca}+1)^3$
$<=>(\dfrac{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)}{3abc})^2+2(\dfrac{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)}{3abc})\ge 2(\dfrac{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca}{ab+bc+ca})^3+6(\dfrac{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca}{ab+bc+ca})^2+6(\dfrac{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca}{ab+bc+ca})$
$<=> 2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)(\dfrac{a+b+c}{3abc}-\dfrac{3}{ab+bc+ca})+(a+b+c)^2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)^2(\dfrac{1}{9a^2b^2c^2}-\dfrac{2}{(ab+bc+ca)^3}) \ge0$
Cái này thì hiển nhiên đúng rùi,vì theo AM-GM:
$(a+b+c)(ab+bc+ca)\ge 9abc => \dfrac{a+b+c}{3abc}-\dfrac{3}{ab+bc+ca}\ge 0$
$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca \ge0$
$(ab+bc+ca)^3\ge 27a^2b^2c^2 => \dfrac{1}{9a^2b^2c^2}-\dfrac{2}{(ab+bc+ca)^3} >0$
Hơi lằng nhằng thông cảm check hộ cái nha.Mong là ko nhầm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cvp: 01-07-2009 - 16:45

[huyetdao_tama]

Ủa ko ai làm bài trên sao???dùng dồn biến thui mà
Vậy mời thử tiếp bài toán nè nhé:
Cho $a,b,c>0$.Chứng minh rằng:
$\dfrac{(a^2+b^2+c^2)}{ab+bc+ca}+ \dfrac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)} \ge2$

Bài này Sos uổng wá. Chém cách khác .

Có: $a^2+b^2+c^2 \geq ab+ac+bc$

$\Rightarrow \dfrac{a^2+b^2+2c^2}{c^2+ab+bc+ac} \leq \dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ac} $

$ \Rightarrow VT \geq \dfrac{a^2+b^2+2c^2}{(a+c)(b+c)}+\dfrac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)} $

$\Rightarrow a^2+b^2+2c^2+ \dfrac{8abc}{a+b} \geq 2c(a+b)+2ab$

$\Rightarrow \dfrac{(a-b)^2(a+b-2c)}{a+b} \geq 0$. Chỉ cần giả sử c min là xong.

[cvp]

Tiếp một bài tương tự nhé:
Cho a,b,c là các số thực dương.Chứng minh rằng:
$\dfrac{2(a^3+b^3+c^3)}{abc}+\dfrac{9(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2} \ge 33$

[123455]

Mấy bài này sao các bác lại "khử" ở forum cấp 2. khéo các em mất ngủ vì mấy bài đó thui.he he...

[123455]

Mấy bài này sao các bác lại "khử" ở forum cấp 2. khéo các em mất ngủ vì mấy bài đó thui.he he...

um! tiện thể giúp tôi
CMR với mọi a,b>0thì
$\sqrt{2a(a+b)^3}+b\sqrt{2(a^2+b^2)} \le 3(a^2+b^2)$

[cvp]

um! tiện thể giúp tôi
CMR với mọi a,b>0thì
$\sqrt{2a(a+b)^3}+b\sqrt{2(a^2+b^2)} \le 3(a^2+b^2)$

Bài nè để tui giúp.
Chỉ sử dụng AM-GM:
$LHS=(a+b)\sqrt{2a(a+b)}+b\sqrt{2}\sqrt{(a^2+b^2)} \le \dfrac{(a+b)^2+2a(a+b)+2b^2+a^2+b^2}{2}$
$=a^2+b^2+(a+b)^2\le 3(a^2+b^2)$
=>đpcm dấu = khi a=b

[cvp]

Ủa ko ai làm bài trên sao???dùng dồn biến thui mà
Vậy mời thử tiếp bài toán nè nhé:
Cho $a,b,c>0$.Chứng minh rằng:
$\dfrac{(a^2+b^2+c^2)}{ab+bc+ca}+ \dfrac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)} \ge2$

Thêm một câu hỏi nữa cho bài toán này:
Chứng minh rằng tồn tại $a,b,c >0$ sao cho:
$\dfrac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8abc}<2$
Mời các bạn!!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cvp: 01-07-2009 - 16:05

[nguyen_ct]

Mình góp vui văn nghệ bài tự chế
$(\dfrac{a^3+b^3+c^3}{3abc})^2+1\ge 2(\dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca})^3$

$VT-VP= \sum (A^3B(C+3X)-18X^2(D^2+DA+A^3) \geq 0 $
với $A=(ab+bc+ca);B=a+b+c;C=a^3+b^3+c^3;X=abc;D=a^2+b^2+c^2$
BDT td $(a+b+c)(a^3+b^3+c^3) \geq (a^2+b^2+c^2)^2$

ko bít đúng kok

[tuan101293]

$<=> 2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)(\dfrac{a+b+c}{3abc}-\dfrac{3}{ab+bc+ca})+(a+b+c)^2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)^2(\dfrac{1}{9a^2b^2c^2}-\dfrac{1}{(ab+bc+ca)^3}) \ge0$

Mình ko chắc về dòng này

[cvp]

Mình ko chắc về dòng này

Ừ mình ghi nhầm chút.thông cảm nó viết hơi lằng nhằng mà!nhưng vẫn ko sai

[huyetdao_tama]

Thêm một câu hỏi nữa cho bài toán này:
Chứng minh rằng tồn tại $a,b,c >0$ sao cho:
$\dfrac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8abc}<2$
Mời các bạn!!

Coi cái này cho nó tiện.

File gửi kèm

•  PTNK_TST09.doc   77.5K   108 Số lần tải

[cvp]

Coi cái này cho nó tiện.

Mình coi rùi nhưng ko có lời giải cho phần b đó hả bạn???